Перетин множин

Нехай дано довільну безліч А і В.

Визначення: Перетинанням множин А і В називається множина A

B. елементи якого одночасно належать і множині А і безлічі В.

A

B = x | xAіxB>

Розглянемо безлічі А і В. Покажемо на діаграмі перетин цих множин. нехай:

1) безлічі А і В не вступають у відношення один з одним.

Очевидно, що в цьому випадку A

B = Ø.

2) безлічі А і В знаходяться у відношенні рівності.

тоді A

B = A = B.

3) безлічі А і В знаходяться у відношенні включення.

якщо А

В. то AB = A, якщо ВА. то AB = В.

Штрихуванням показано безліч елементів, що належать A

B.

4) безлічі А і В знаходяться у відношенні перетину.

Подвійний штрихуванням показано безліч елементів, що належать A

B.

Нехай А = а; b>, B =. знайдемо A

B.

За визначенням перетину двох множин A

B = <3>. так як тільки елемент x = 3 належить і безлічі А і безлічі В. Изобразим безлічі А і В і їх перетин на діаграмі:

Зауваження: У промові операції перетину відповідає союз «І». а операції об'єднання - союз «АБО».

Таким чином, за визначенням x

ABxAіxB.

У перетин множин А і В не увійдуть ті елементи, які не входять до А. або в В. Таким чином, x

ABxAіліxB. Іншими словами,

Зауваження. Операція відшукання об'єднання (перетину) множин також називається об'єднанням (перетином).

віднімання множин

Нехай дано довільну безліч А і В.

Визначення: Різницею двох множин А і В називається множина А \ В. елементи якого належать безлічі А. але не належать множині В.

А \ В = x | x

A, xB>

Покажемо на діаграмі різниця множин А і В. Нехай:

1) безлічі А і В не вступають у відношення один з одним.

Очевидно, що в цьому случаеА \ В = А, а В \ А = В.

2) безлічі А і В знаходяться у відношенні рівності.

3) безлічі А і В знаходяться у відношенні включення.

якщо А

В. то А \ В = Ø. Якщо вА. то А \ ВØ

4) безлічі А і В знаходяться у відношенні перетину.

Штрихуванням показано безліч елементів, що належать А \ В.

За визначенням різниці двох множин А \ В = a; b>. так як тільки ці елементи безлічі А належать, а безлічі В - немає.

Так як N

Z. (тобто AB), то А \ В = N \ Z = Ø. а Z \ N- це безліч цілих негативних чисел або нуль.

Зауваження: Якщо безліч В є підмножиною множини А. то різниця А \ В називається доповненням множини В до безлічі А і позначається В

.

В

АА \ В = В

Якщо А - це універсальне безліч (J), то різниця J \ В = В

. При цьому не вказується до якого безлічі.

1) Нехай А = а; b>, B =. Якщо можливо, знайдіть додаток безлічі В до А або А до В.

Так як А

В і ВА. то говорити про доповнення одного безлічі до іншого не має сенсу.

Так як N

Z. (тобто AB), то В \ А = Z \ N = N- це безліч цілих негативних чисел або нуль.

Зауваження: Для завдання безлічі дійсних чисел використовують спеціальні позначення: числові проміжки. Так наприклад,

[A; b] = x | x

R. ax b>

[A; b) = x | x

R. ax < b>

(A; b] = x | x

R. a