Формалізації неспостережуваного і парадокс брехуна

парадокс брехуна

Згортає парадокс куди захоче,
розуму здоровому він голову морочить.

В математиці, як і в природничих науках, парадокси не порожня забава. Іноді парадокси призводять до вельми глибоким відкриттям. Так, давньогрецькі математики довго ламали голову над тим, чому діагоналі одиничного квадрата неможливо виміряти точно лінійкою з як завгодно дрібними поділами. Цей парадокс, бентежать розум античних мислителів, привів до розширення поняття числа і створенню теорії ірраціональних чисел. Математикам XIX в. здавалося надзвичайно парадоксальним, що між усіма елементами нескінченної кількості і елементами його нескінченного підмножини можна встановити взаємно-однозначна відповідність. Цей парадокс призвів до створення сучасної теорії множин, в свою чергу зробила сильний вплив на філософію науки. Уже дві з половиною тисячі років однією з логічних загадок, мучить людей, які намагаються гармонізувати підстави свого мислення, є "парадокс брехуна". Він є найбільш доступним з безлічі парадоксів і, в силу цього, найбільш відомим з них. Він первинний по відношенню до багатьох інших парадоксів і, отже, останні не переборні, поки не вирішено "парадокс брехуна". Головне ж - те, що Гедель застосував логічну форму парадоксу брехуна в своїх "теоремах про неповноту" і логіко-математичне співтовариство визнало їх коректними. Це свідчить, що "парадокс брехуна" живий і проблема його дозволу і раніше актуальна.

Нагадаємо спочатку, що "парадокс брехуна" має ряд схожих один на одного формулювань. Наведемо деякі з них:

"Все крітяни - брехуни" (теза, висловлена ​​критянином);

"Я висловлюю зараз помилкове припущення";

"Це твердження помилкове";

"Це твердження не належить класу справжніх висловлювань";

Найпростіше і зрозуміле завжди те, що знайдено вчора, а найскладніше і неясне то, що буде виявлено завтра.

СледствіеС2. Нерозв'язне твердження не можна додати в якості нової аксіоми.

СледствіеС3. Нерозв'язне твердження нерозв'язною також і в двозначної логіці.

СледствіеС4. Визначення нерозв'язного затвердження, опис правил поводження з ним і будь-яка інша інформація про нього повинні пред'являтися в рамках несуперечливої ​​теорії, яка не забороняє можливості суворої формалізації основних своїх положень.

Поєднати слідства С1 і С4 буде дуже не просто. Надія лише на те, що "парадокс брехуна" є наслідком несумісності С1 і С4. а не навпаки. По суті потрібно довести, що формалізм, несуперечливість і строгість здатні поширюватися далеко за межі математики. Завдання не з легких. На користь ідеї нерозв'язності парадоксу свідчать тільки непрямі факти. Наприклад, С.Кріпке [1,2] заявляв, що будь-яке трактування поняття істини повинна тим чи іншим чином обійти "парадокс брехуна". А також висновок від противного, що, якби у нас вже було нерозв'язне твердження, то найкращим способом представити його в двозначної логіці була формулювання цього твердження таким чином, щоб йому не можна було приписати ні істинного, ні хибного значення.

Математики знайомі тільки з "локальної" нерозв'язністю. Твердження, нерозв'язне в одній теорії, стає розв'язаним в інший. Отже, всі відомі приклади нерозв'язних тверджень, по своїй суті, нічим від вирішуваних тверджень не відрізняються. Якщо таке твердження тимчасово не вдається вирішити. це викликає підвищений інтерес і концентрацію зусиль на спробах його вирішити. Інших відмінностей немає. Для абсолютно нерозв'язного затвердження доведеться винаходити щось інше. Загалом, одна ідея є. Класична концепція істини визначає істину як відповідність знання об'єкту (дійсності). Це означає, що для з'ясування істинності чи хибності твердження нам досить зіставити твердження з дійсністю. При цьому, правила логіки, без звернення до дійсності, можуть і не давати точної відповіді про істинність твердження. Значить, у нас з'являється шанс поєднати С1 і С4 шляхом переміщення проблеми зі сфери чисто математичних задач в область фізичних експериментів. Залишилося з'ясувати, куди поділося висловлювання про реальність, адже у фразі "це твердження помилкове" нічого про реальність не згадується. У цьому нам допоможуть неспостережувані об'єкти.

Коли пишеш про трансцендентальних проблемах
(Тобто проблеми, що виходять за межі сущого),
будь трансцендентальної ясний.

Фізики не знають як ставити експерименти з неспостережуваними об'єктами. Саме визначення - "неспостережний" не може входити в опис властивостей логічних абстракцій. Логіка повинна абстрагуватися від реальності і всяких спостережень реальності, по крайней мере, це стосується формальної логіки. Отже, ми не маємо в своєму розпорядженні математичною моделлю неспостережуваного об'єкта. Доведеться будувати таку модель власними силами. Зазвичай ненаблюдаемое представляють як невідоме. Для цього спеціальний термін придумали - приховані параметри, які нічим не відрізняються (в сенсі правил логіки) від звичайних змінних, тільки вони можуть приймати довільні значення. На рис.1 показаний експеримент "закрита кімната", що дозволяє вивчити властивості неспостережуваних об'єктів у всіх подробицях.