Визначники другого і третього порядків

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Будь-яка квадратна матриця А має свій визначник. Прямокутна, неквадратні матриця визначника не має.

Определеніе.Определітелем (або детермінантом) другого порядку. відповідним матриці

називається число, що позначається

і обчислюється за правилом. Тобто визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус твір елементів додаткової діагоналі.

Определеніе.Определітелем (або детермінантом) третього порядку. відповідним матриці

називається число, що позначається

і обчислюється за правилом Саррюс

Для того щоб запам'ятати формулу обчислення визначника третього порядку проілюструємо правило Саррюс, яке символічно можна записати так

Определеніе.Мінором Мij елемента аij (i- номер рядка, j- номер стовпчика) даного визначника називається визначник, отриманий з даного шляхом викреслення i- рядки і j- стовпчика.

- мінор елемента а12 визначника другого порядку;

- мінор елемента А23 визначника третього порядку.

Наприклад, А12 = - а21 - алгебраїчне доповнення елемента а12 визначника другого порядку.

- алгебраїчне доповнення елемента А23 визначника третього порядку.

З в про і з тонн на про 1. (про розкладанні визначника за елементами рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або будь-якого стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, розкладемо визначник третього порядку за елементами першого рядка:

Порівнюючи з результатом застосування правила Саррюс бачимо їх повний збіг.

З в про і з тонн на про 2. При транспонировании матриці її визначник не змінюється, т. Е.

З в про і з тонн на про 3. Загальний множник елементів будь-якого стовпця або якого-небудь рядка можна винести за знак визначника:

Іншими словами, якщо визначник множиться на число, то множаться на це число все елементи якого-небудь рядка або якого-небудь стовпця.

З в про і з тонн на про 4. Визначник, у якого всі елементи будь-якого рядка або якого-небудь стовпця дорівнюють нулю, дорівнює нулю.

З в про і з тонн на про 5. Якщо у визначнику поміняти місцями дві будь-які рядки (стовпці), то знак визначника зміниться.

З в про і з тонн на про 6. Якщо у визначнику елементи якого-небудь рядка (стовпчика) рівні або пропорційні відповідним елементам іншого рядка (стовпця), то він дорівнює нулю.

З в про і з тонн на про 7. Якщо у визначнику елементи будь-якого рядка (стовпця) представляють собою суми двох доданків, то він може бути розкладений на суму двох відповідних визначників, наприклад:

З в про і з тонн на про 8. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на будь-який загальний множник, то величина визначника при цьому не зміниться. наприклад,

З в про і з тонн на про 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю. наприклад,

З в про і з тонн на про 10. Визначник твори квадратних матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, т. Е. Якщо А і В квадратні матриці одного порядку, то | A # 8729; B | = | A | # 8729; | B |.

Аналогічно можна ввести поняття визначників четвертого, п'ятого, ..., n -порядков, їх мінори та алгебраїчні доповнення і показати, що вони мають розглянутими вище властивостями.

1.4. Зведена таблиця основних методів вирішення визначників