Сплайн - інтерполяція

В останні роки інтенсивно розвивається новий розділ сучасної обчислювальної математики - теорія сплайнів. Сплайни дозволяють ефективно вирішувати завдання обробки експериментальних залежностей між параметрами, що мають досить складну структуру.

Розглянуті вище методи локальної інтерполяції, по суті, є найпростішими сплайнами першого ступеня (для лінійної інтерполяції) і другого ступеня (для квадратичної інтерполяції).

Найбільш широке практичне застосування, в силу їх простоти, знайшли кубічні сплайни. Основні ідеї теорії кубічних сплайнів сформувалися в результаті спроб математично описати гнучкі рейки з пружного матеріалу (механічні сплайни), якими здавна користувалися креслярі в тих випадках, коли виникала необхідність проведення через задані точки досить гладкої кривої. Відомо, що рейка з пружного матеріалу, закріплена в деяких точках і знаходиться в положенні рівноваги, приймає форму, при якій її енергія є мінімальною. Це фундаментальне властивість дозволяє ефективно використовувати сплайни при вирішенні практичних завдань обробки експериментальної інформації.

У загальному випадку для функції y = f (x) потрібно знайти наближення y = S (x) таким чином, чтобиf (xi) = S (xi) в точках x = xi. a в інших точках відрізка [a; b] значення функцій f (x) і S (x) були близькими між собою. При малому числі експериментальних точок для вирішення завдання інтерполяції можна використовувати один з методів побудови інтерполяційних поліномів. Однак при великій кількості вузлів інтерполяційні поліноми стають практично непридатними. Це пов'язано з тим, що ступінь інтерполяційного полінома лише на одиницю менше числа експериментальних значень функцій. Можна, звичайно, відрізок, на якому визначена функція, розбити на ділянки, що містять малу кількість експериментальних точок, і для кожного з них побудувати інтерполяційні поліноми. Однак в цьому випадку апроксимуюча функція буде мати точки, де похідна не є безперервною, т. Е. Графік функції буде містити точки "зламу".

Кубічні сплайни позбавлені цього недоліку. Дослідження показали, що гнучка тонка лінійка між двома вузлами досить добре описується кубічним поліномом, і оскільки вона не руйнується, то апроксимуюча функція повинна бути, щонайменше, безперервно диференціюється.

Таким чином, сплайн - це функція, яка на кожному частковому відрізку інтерполяції є алгебраїчним многочленом, а на всьому заданому відрізку неперервна разом з кількома своїми похідними.

Нехай інтерпольованої функції f (x) задана своїми значеннями yi. в вузлах хi,
(I = 0, 1. n). Позначимо довжину часткового відрізка [xi-1; xi] як hi = xi -xi-1.
(I = 1, 2. n). Будемо шукати кубічний сплайн на кожному ізчастічних відрізків [хi-1; хi] у вигляді:

де - четвірка невідомих коефіцієнтів. Можна довести, що завдання знаходження кубічного сплайна має єдине рішення.

Зажадаємо збігу значень S (x) у вузлах з табличними значеннями функції f (x):

Число цих рівнянь (2n) в два рази менше числа невідомих коефіцієнтів. Для того щоб отримати додаткові умови, будемо вимагати також безперервності першої і другої похідних сплайна в усіх точках, включаючи вузли. Для цього слід прирівняти ліві і праві похідні S '(x-0), S' (x + 0), S "(x-0), S" (x + 0) у внутрішньому вузлі xi.

Обчислимо вирази для похідних S '(x), S "(x) послідовним диференціюванням (1.3.4-1):

знайдемо праві і ліві похідні в вузлі: