Принципи організації порядкових систем числення

Системою числення називається сукупність цифрових знаків і правил їх запису, що застосовується для однозначного уявлення чисел.

Позиційні і непозиційної

Системи числення поділяються: позиційні і непозиційної.

Непозиційних називаються такі системи, в яких необмежену кількість цифр, причому значення кожної цифри не залежить від її позиції в числі. Прикладом непозиционной є римська система числення.

Приклад: У римській системі використовуються латинські літери

1 5 10 50 100 500 1000

Запис йде зліва направо в порядку убування. В такому випадку з значення складаються, але якщо, же зліва записана менша цифра, а праворуч - велика, то з значення віднімаються.

Непозиційної системи використовуються досить рідко, а в обчислювальної техніки практично зовсім не використовуються, тому що не зручні.

Позиційні називаються такі системи, в яких застосовується обмежений набір цифр, причому значення кожної цифри знаходиться в строгій залежності від її позиції в числі.

Число 222 цифра 2 зустрічається тричі, але сама права означає дві одиниці, друга праворуч - два десятка (двадцять) і третя - дві сотні (двісті).

Так одна і також цифра отримує різні числові значення в залежності від її місця в запису числа. Перша, друга, третя і т.д. цифри числа, якщо вважати справа наліво, називаються одиницями першого, другого, третього і т.д. розрядів. Цифрою 0 - нуль позначають відсутність одиниць відповідного розряду. Десять одиниць якого-небудь розряду складають одиницю вищого розряду. Тому вважається, що ми користується десяткової системою числення.

Будь-яке натуральне число можна представити у вигляді

N =. де - цифри від 0 до 9, причому ≠ 0.

Кожна система числення використовує конкретний алфавіт, за допомогою якого вона представляє числа у вигляді певної сукупності символів, а саме цифр: 0.1,2,3.4,5,6.7.8,9 і букв латинського алфавіту A, B, C, D, ..., Z.

Найпоширенішою системою числення є двійкова (0,1), шістнадцяткова (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F), восьмерична (0 , 1,2,3,4,5,6,7), десяткова (0,1,2,3,4,5,6,7.8,9).

Двійкова система використовується для внутрішнього представлення чисел в ЕОМ. Шістнадцяткова використовується програмістами, тому що з неї дуже легко переводити числа в двійкову систему (компактна запис двійкових чисел).

Кількість використовуваних різних цифр застосовуваних в даній системі називається її основою.

Для запису чисел в позиційній системі числення з довільною основою р потрібно мати алфавіт з довільних цифр. якщо р<10 используют р первых арабских цифр, при р> 10 до десяти арабським цифрам додають латинські букви (англійський алфавіт).

Приклади алфавітів кількох систем

Р = 2 двійкова 0 1

Р = 3 троичная 0 1 2

Р = 8 восьмерична 0 1 2 3 4 5 6 7

Р = 16 шестнадцатеричная 0 12 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF

Підстава системи записується як нижній індекс.

Правила переходу з системи в систему Алгоритм перекладу цілих чисел із системи з основою р в систему з основаніемq:

Основа нової системи числення висловити цифрами вихідної системи числення і всі наступні дії виробляти в вихідної системі числення.

Послідовно виконувати поділ даного числа і одержуваних цілих приватних на основу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо приватне, менше дільника.

Отримані залишки, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення.

Скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього залишку.

Приклад. Перевести десяткове число 15210 в вісімкову систему числення: