Приклади факторпространством і ядра (геометричні) вища алгебра

Спробуйте в якості оператора взяти проекцію. Скажімо, на площину, паралельно деякого вектору. Навіть просто проекцію на площину паралельно осі.

Все одно не зрозумів, де тут факторпространством і де ядро. Наведіть, будь ласка, приклади і вкажіть, де там фактор-простір і де ядро. Може до мене дійде тоді.

Давайте не так.
Наведіть самі якісь приклади лінійних функціоналів з геометрії, а ми допоможемо з ядрами (і цими жахливими факторпространством)

Евклидова норма тривимірних векторів.

Ось Новомосковськ у Колмогорова (та й в десятці іншому книг). Наводжу, трохи вирізавши.

Нехай лінійний простір, а -деяка його підпростір. Два елементи і з еквівалентні, якщо їх різниця належить. Це відношення розбиває всі з на класи. Клас еквівалентних елементів називається класом суміжності (по подпространству). Сукупність усіх таких класів називається фактор-простором по подпространству.

Міркую.
Як приклади підпросторів тривимірного простору можу привести: площині, відрізки, більше в голову не приходить (може дасте ще прикладів). Ось намалював як різниця однієї пари векторів і різниця іншої пари векторів лежать в одній площині (яка є підпростір трехмеркі):

Є вектора, різниці яких лежить в інших площинах. Для кожної площині маємо свій клас векторів, різниця яких лежить в ній. Далі я не розумію, де тут фактор-простір.

Тепер функціонал (опущу "лінійний" для стислості).

Назвемо ядром довільного безлічі сукупність таких його точок, що для кожного знайдеться таке число, що при. Опукле безліч, ядро ​​якого не порожньо, називається опуклим тілом. У тривимірному Евклідовому просторі куб, куля, тетраедр мають форму опуклих тіла.

Для прикладу куба в тривимірному просторі, -трехмерное простір,-сам куб. - в загальному випадку точка тривимірного простору, яка не зобов'язана бути всередині або на кордоні куба, але може бути поза ним. Що таке, я не можу уявити.

Відрізок - точно не підпростір. І площину - не всяка.

Пряма, точніше. Сума двох векторів на прямій буде лежати на прямій, масштабувати вектор теж буде лежати на прямій. Те ж для площині. Якщо це не підпростору, то порушені якісь з 8-ми властивостей операцій додавання і множення на скаляр?

Геометрично зручно вважати, що вектори відкладені від фіксованої точки. Тоді їх кінці описують якесь підмножина точок. Які підмножини будуть відповідати підпростір?

Площина, що проходить через зафіксовану точку?

ядро такого функціоналу (проекції) - вектори, ортогональні осі,

Природно. Тобто соотв. площину.

А де у куба - то ядро, ніяк не зрозумію?