Статистичне визначення ймовірності

Найбільш точною мірою можливості є межа відносної частоти (частості) при необмеженому збільшенні числа випробувань. Його називають статистичною ймовірністю.

Таке визначення є чисто теоретичним, так як на практиці необмежене збільшення числа випробувань не можливо.

При підрахунку числа елементарних фіналів, що становлять події в класичній схемі, часто використовуються відомі формули комбінаторики. Кожна з комбінаторних формул визначає загальне число елементарних фіналів в деякому ідеалізованому експерименті по вибору навмання m елементів з n різних елементів вихідного безлічі E =.

При постановці кожного такого експерименту строго обумовлено, яким способом можна обирати і що розуміється під різними вибірками. Існують дві принципово відмінні схеми вибору: в першій схемі вибір здійснюється без повернення елементів (це означає, що відбираються або відразу все m елементів, або послідовно по одному елементу, причому кожен відібраний елемент виключається з початкової множини). У другій схемі вибір здійснюється поелементно з обов'язковим поверненням відібраного елемента на кожному кроці і ретельно перемішуванням вихідного безлічі перед наступним вибором. Після того, як вибір тим чи іншим способом здійснений, відібрані елементи (або їх номери) можуть бути або впорядковані (тобто викладені в послідовний ланцюжок), або ні. В результаті виходять такі чотири різні постановки експерименту за вибором навмання m елементів із загального числа n різних елементів безлічі Е.

А. Схема вибору, яка веде до сполученням

Якщо досвід полягає у виборі m елементів без повернення і без упорядкування, то різними наслідками слід вважати m-елементні підмножини множини E, мають різний склад. Отримувані при цьому комбінації елементів (елементарні результати) звуться поєднання з n елементів по m, а їх загальне число N (W) визначається за формулою:

Cmn = n! / [M! (N - m)!] = N (n - 1). (N - m + 1) / m !.

Для чисел Cmn, званих також біноміальними коефіцієнтами, справедливі наступні тотожності, часто виявляються корисними при вирішенні завдань:

Cmn = Cn-mn (властивість симетрії),

Ckn + 1 = Ckn + Ck-1n; C0n = 1 (рекурентне співвідношення),

C0n + C1n +. + Cnn = 2n (наслідок біноміальної формули Ньютона).

Приклад 1. Безліч Е містить 10 перших букв українського алфавіту. Скільки різних алфавітів з трьох букв можна скласти з даного безлічі букв? Яка ймовірність того, що випадково обраний алфавіт буде містити букву «a»?

Рішення Число різних алфавітів дорівнює числу трьохелементної підмножин безлічі Е (числу сполучень з 10 елементів по 3):

N (W) = C310 = 10 × 9 × 8 / (1 × 2 × 3) = 120.

Нехай подія A - випадково обраний алфавіт з трьох букв, що містить букву «a». Число елементів безлічі А дорівнює числу всіх можливих способів відібрати дві букви з дев'яти (з десяти букв виключена буква «a»), тобто дорівнює числу сполучень з 9 елементів по 2: N (A) = C29 = 9 × 8/2 = 36.

Р (A) = N (A) / N (W) = 36/120 = 0,3.

Б. Схема вибору, яка веде до розміщень

Якщо досвід полягає у виборі m елементів без повернення, але з упорядкуванням їх у міру вибору в послідовний ланцюжок, то різними наслідками даного досвіду будуть впорядковані m-елементні підмножини безлічі Е, що відрізняються або набором елементів, або порядком їх слідування. Отримувані при цьому комбінації елементів (елементарні результати) називаються розміщеннями з n елементів по m, а їх загальне число N (W) визначається формулою:

Amn = Cmn × m! = N! / (N - m)! = N (n - 1). (N - m + 1).

Якщо n = m, то досвід фактично складається в довільній впорядкування безлічі Е, тобто зводиться до випадкової перестановці елементів всієї множини. Тоді N (W) = Ann = n !.

Приклад 2. Група, що складається з 8 осіб, займає місця за круглим столом у випадковому порядку. Яка ймовірність того, що при цьому два певних особи виявляться сидять поруч?

Рішення. Так як впорядковується все безліч з 8 елементів, то N (W) = A88 = 40320. Події А сприяють такі розміщення, коли два зазначених особи сидять поруч: всього 8 різних сусідніх пар місць за круглим столом, на кожній з яких зазначені особи можуть сісти двома способами, при цьому решта 6 чоловік розміщуються на місця, що залишилися довільно, тому за формулою про кількість елементів прямого твори множин отримуємо N (A) = 2 × 8 × 6. Отже Р (A) = N (A) / N (W) = 2/7.

В. Схема вибору, яка веде до сполученням з повтореннями

Якщо досвід полягає у виборі з поверненням m елементів множини E =, але без подальшого впорядкування, то різними наслідками такого досвіду будуть всілякі m-елементні набори, що відрізняються складом. При цьому окремі набори можуть містити елементи, що повторюються. Наприклад, при m = 4 набори і невиразні для даного експерименту, а набір відрізняється від будь-якого з попередніх. Що виходять в результаті даного досвіду комбінації називаються сполученнями з повтореннями, а їх загальне число визначається формулою N (W) = Cmn + m-1.

Приклад 3. У бібліотеці є книги по 16 розділах науки. Надійшли чергові чотири замовлення на літературу. Вважаючи, що будь-який склад замовленої літератури равновозможен, знайти ймовірності наступних подій: А - замовлені книги з різних розділів наук, В - замовлені книги з одного і того ж розділу науки.

Рішення. Число всіх рівно можливих випадків даного експерименту одно, очевидно, числу сполучень з повтореннями з 16 елементів по 4, тобто N (W) = C416 + 4-1 = C419.

Число випадків, що сприяють події A, дорівнює числу способів відібрати без повернення чотири елементи з 16, тому Р (A) = N (A) / N (W) = C416 / C419 »0,47.

Число випадків, що сприяють події В, дорівнює числу способів вибрати один елемент з 16, тому Р (A) = N (A) / N (W) = C116 / C419 »0,004.

Г. Схема вибору, яка веде до розміщень з повтореннями

Якщо вибір m елементів з множини E =, проводиться з поверненням і з упорядкуванням їх у послідовний ланцюжок, то різними наслідками будуть всілякі m-елементні набори (взагалі кажучи, з повтореннями), що відрізняються або складом елементів, або порядком їх слідування. Наприклад, при m = 4 набори, і є різними наслідками даного досвіду. Отримані в результаті різні комбінації називаються розміщеннями, з повтореннями, а їх загальне число визначається формулою

Приклад 4. Досвід полягає в чотириразовому виборі з поверненням однієї з букв алфавіту E = і викладанні слова в порядку надходження букв. Яка ймовірність того, що в результаті буде викладено слово «мама»?

Рішення. Число елементів безлічі, рівно можливих випадків дорівнює числу розміщень з повтореннями з 5 елементів по 4 тобто N (W) = 54. Слову «мама» відповідає лише один можливий результат. Тому Р (A) = N (A) / N (W) = 1/54 »0,0016.

Д. Схема упорядкованих розбиття

Нехай безліч E складається з m різних елементів. Розглянемо досвід, що складається в розбитті множини E випадковим чином на s підмножин E1, E2. Es таким чином, що:

Безліч Еi містить рівно ni елементів, де i = 1, 2. s.

Безлічі Еi впорядковані за кількістю елементів ni.

Безлічі Еi, що містять однакову кількість елементів, упорядковуються довільним чином. Наприклад, при n = 7, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 3 розбиття, Е2 =, Е3 => і, Е2 =, Е3 => є різними наслідками даного досвіду.

Число всіх елементарних фіналів в даному досвіді визначається формулою

N (W) = n! / (N1! × n2! ×. × ns!).

Приклад 5. Десять приїжджих чоловіків, серед яких Петров і Іванов, розміщуються в готелі в два тримісних і один чотиримісний номер. Скільки існує способів їх розміщення? Яка ймовірність того, що Петров і Іванов потраплять в чотиримісний номер?

Рішення. Розбиття в даному досвіді характеризуються такими параметрами: s = 3, n = 10, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4. Тоді N (W) = 10! / (3! × 3! × 4!) = 4200.

Нехай подія А - Петров і Іванов потраплять в одні чотиримісний номер. Сприятливі події А результати відповідають розбиття з наступними параметрами: s = 3, n = 8, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 2. Тоді N (A) = 8! / (3! × 3! × 2!) = 560. Шукана ймовірність Р (A) = N (A) / N (W) = 560/4200 = 2/15.