Позитивні раціональні числа

Ставлення рівності є відношенням еквівалентностінамножестве дробів, тому воно породжує на ньому класи еквівалентності. У кожному такому класі містяться рівні междусобой дробу.

Наприклад, безліч дробів - це один клас, безліч дробів це інший клас і т.д.

Дробу одного класу висловлюють довжину одного і того ж відрізка. Але довжина відрізка повинна представлятися єдиним числом. Тому вважають, що рівні дроби - це різні записи одного і того ж позитивного раціонального числа.

Определеніе.Положітельним раціональним числом називається клас рівних дробів, а кожна дріб, що належить цьому класу, є запис (подання) цього числа.

Наприклад, про дроби ми повинні говорити, чтоона є за-писью деякого раціонального числа. Однак часто для стислості кажуть. - це раціональне число

Безліч всіх позитивних раціональних чисел прийнято позначати символом Q +. Визначимо на цій множині відношення рівності.

Определеніе.Еслі позитивне раціональне число а представлено дробом, а позитивне раціональне число b інший дробом. то а = b тоді і тільки тоді, коли тq = ін.

З даного визначення випливає, що рівні раціональні числа представляються рівними дробом. Серед всіх записів будь-якого позитивного раціонального числа виділяють дріб, яка є нескоротного, і доводять, що будь-який раціональне число представимо єдиним чином нескоротного дробом (ми це доказ опускаємо). Для того щоб раціональне число представити нескоротного дробом, досить чисельник m і знаменник n розділити на їх найбільший спільний дільник.

З'ясуємо тепер, як визначаються арифметичні дії з позитивними раціональними числами.

Нехай при деякому одиничному відрізку е довжина відрізка х виражається дробом. а довжина відрізка у - дробом. і нехай відрізок z складається з відрізків х і у. Тоді n-ая частина відрізка е укладається в відрізку z m + р раз, тобто. довжина відрізка z виражається дробом. Тому вважають, що + =.

Определеніе.Еслі позитивне раціональне число а представлено дробом, а позитивне раціональне число b - дробом, то їх сумою називається число а + b, яке видається дробом, тобто. + = (1)

Можна довести, що при заміні дробів і. представляють числа а і b, рівними їм дробом, дріб замінюється рівною їй дробом. Тому сума раціональних чисел не залежить від вибору відповідних їм дробів.

У визначенні суми раціональних чисел ми використовували їх подання у вигляді дробів з однаковими знаменниками. Якщо ж числа а і b представлені дробом з різними знаменниками, то спочатку треба привести їх до одного знаменника, а потім застосовувати правило (1).