Потенційна енергія деформованої пружини

Можна довести, що формули (1.77) і (1.78) справедливі для будь-якої траєкторії, по якій тіло переміщається з точки P в точку Q, а не тільки для прямолінійного відрізка.

Робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії, по якій переміщається тіло, і дорівнює різниці значень потенційної енергії в початковій і кінцевій точках траєкторії. Іншими словами, робота сили тяжіння завжди дорівнює зміні потенційної енергії з протилежним знаком.

Зокрема, робота сили тяжіння по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю.

Сила називається консервативної, якщо при переміщенні тіла робота цієї сили не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла. Сила тяжіння, таким чином, є консервативною. Робота консервативної сили по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю. Тільки в разі консервативної сили можливо ввести таку величину, як потенційна енергія.

Розглянемо пружину жорсткості k. Початкова деформація пружини дорівнює x 1. Припустимо, що пружина деформується до деякої кінцевої величини деформації x 2. Чому дорівнює при цьому робота сили пружності пружини?

В даному випадку силу на переміщення не примножиш, так як сила пружності змінюється в процесі деформації пружини. Для знаходження роботи змінної сили потрібно інтегрування. Ми не будемо наводити тут висновок, а відразу випишемо кінцевий результат.

Виявляється, сила пружності пружини також є консервативною. Її робота залежить лише від величин x 1. x 2 і визначається формулою:

1.16.7 Закону збереження механічної енергії

Консервативні сили називаються так тому, що зберігають механічну енергію замкнутої системи тіл.

Механічна енергія E тіла дорівнює сумі його кінетичної і потенційної енергій:

Механічна енергія системи тіл дорівнює сумі їх кінетичних енергій і потенційної енергії їх взаємодії один з одним.

Припустимо, що тіло здійснює рух під дією сили тяжіння і / або сили пружності пружини. Будемо вважати, що тертя немає. Нехай в початковому положенні кінетична і потенційна енергії тіла рівні K 1 і W 1. в кінцевому положенні K 2 і W 2. Роботу зовнішніх сил при переміщенні тіла з початкового положення в кінцеве позначимо A.

По теоремі про кінетичної енергії:

Але робота консервативних сил дорівнює різниці потенційних енергій:

K 2 K 1 = W 1 W 2;

K 1 + W 1 = K 2 + W 2:

Ліва і права частини даного рівності являють собою механічну енергію тіла в початковому і кінцевому положенні:

Отже, при русі тіла в полі сили тяжіння і / або на пружині механічна енергія тіла залишається незмінною при відсутності тертя.

Справедливо і більш загальне твердження.

Закон збереження механічної енергії. Якщо в замкнутій системі діють тільки консервативні сили, то механічна енергія системи зберігається.

При цих умовах можуть відбуватися лише перетворення енергії: з кінетичної в потенційну і навпаки. Загальний запас механічної енергії системи залишається постійним.

1.16.8 Закону зміни механічної енергії

Якщо між тілами замкнутої системи є сили опору (сухе або в'язке тертя), то механічна енергія системи буде зменшуватися. Так, автомобіль зупиняється в результаті гальмування, коливання маятника поступово згасають і т. Д. Сили тертя неконсервативний: робота сили тертя очевидним чином залежить від шляху, по якому переміщається тіло між даними точками. Зокрема, робота сили тертя по замкнутому шляху не дорівнює нулю.

Знову розглянемо рух тіла в полі сили тяжіння і / або на пружині. До того ж на тіло діє сила тертя, яка за розглянутий проміжок часу робить негативну роботу A тр. Роботу консервативних сил (тяжіння і пружності) як і раніше позначаємо A.

Зміна кінетичної енергії тіла дорівнює роботі всіх зовнішніх сил: