Похідна добутку і частки функції

Формула похідної приватного функції має вигляд.

Однак було б наївно сподіватися, що на контрольній або іспиті Вам обов'язково попадеться приклад на знаходження похідної такого приватного:, де легко підставити простеньке вираз в формулу і видати правильне рішення.

В реальних задачах потрібно знайти похідну таких творів і приватних, в які вкрали тригонометричні вирази та логарифми, не кажучи вже про множниках (константи), і взагалі про те, що може містити твір або приватне функції. Тому приклади знаходження похідної добутку і частки функцій винесені в цю окрему статтю.

Приклад 1. Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну добутку функцій. Перш за все винесемо множник 2 за знак похідної:

Тепер застосовуємо формулу диференціювання твори:

Наводимо складові в дужках до спільного знаменника:

У чисельнику першого доданка можна помітити знайоме зі шкільної математики вираз подвійного кута:

Існує також відоме зі шкільної математики тотожність:

Підставляємо його в наш проміжний результат і отримуємо:

Похідна даного твору знайдена.

Перевірити рішення саме Вашої завдання можна на калькуляторі похідних.

Приклад 2. Знайти похідну функції

Рішення. Перед нами сума приватних. Отже, кожний доданок буде диференційовано як приватна. Застосовуємо правило диференціювання приватного, не забуваючи, чому дорівнюють похідні числа (константи) і самої змінної x:

Перевірити рішення саме Вашої завдання можна на калькуляторі похідних.

Приклад 3. Знайти похідну функції

Крок 1. Застосуємо правило диференціювання приватного:

Крок 2. Знаходимо похідну твори в чисельнику:

Крок 3. Знаходимо похідну суми:

Крок 4. Знаходимо похідну функції:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на x:

Перевірити рішення саме Вашої завдання можна на калькуляторі похідних.

Приклад 4. Знайти похідну функції

Крок 1. Застосуємо правило диференціювання твори:

Крок 2. Знайдемо похідну приватного, пам'ятаючи, що похідна константи дорівнює нулю, а корінь з константи є також константою:

Крок 3. Знаходимо похідну арктангенса (формула 12 в таблиці похідних):

Перевірити рішення саме Вашої завдання можна на калькуляторі похідних.

Приклад 5. Знайти похідну функції

Крок 1. Застосуємо правило диференціювання приватного:

Крок 2. Диференціюючи за правилами для твору і показовою функції (формула 17 в таблиці похідних):

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на:

Перевірити рішення саме Вашої завдання можна на калькуляторі похідних.