Події та ймовірність, одиниці виміру, теорія ймовірності, одиниці виміру

ПОДІЇ І ЙМОВІРНІСТЬ

У теорії ймовірностей подією називається результат досвіду, що здійснюється за заданих умовах. Подія називається достовірною, якщо воно неминуче відбувається при даних умовах. Якщо ж при даних умовах подія свідомо не може відбутися, то вона називається неможливою. Подія називається випадковою, якщо за даних умов воно може статися, а може і не відбутися. Для оцінки можливості реалізації випадкової події кожній події ставиться у відповідність деяке число, зване ймовірністю.

Імовірність неможливого події приймається рівною нулю; ймовірність достовірної події вважається дорівнює одиниці. Імовірність будь-якого випадкового події укладається між нулем і одиницею. Вона може визначатися по-різному для різних класів задач, але в згоді з правилами (аксіомами) додавання і множення ймовірностей, які для кінцевого числа подій вказуються нижче (сучасна теорія ймовірності побудована аксіоматичним шляхом без конкретизації самого поняття ймовірності. Найпростіше (класичне) визначення ймовірності Р (А) події А виражається формулою

де N - загальне число рівно можливих і несумісних випадків; n - число випадків, що сприяють події А (випадок називається сприятливим події А, якщо при реалізації цього випадку реалізується і подія А).

Зазначена формула може також служити визначенням (статистичним) наближене значення ймовірності події А, якщо в результаті великого числа N випробувань подія А реалізується n раз.

У завданнях, де появи події А відповідає потрапляння точки в частину ω області ω, ймовірність Р (А) може бути визначена (геометрично) за формулою

(Mes ω, mes ω - заходи областей ω і ω; зокрема, для двомірної області заходом є її площа).

Якщо ймовірність події А змінюється в залежності від того, чи відбулося подія В чи ні, то подія А називається залежним від події В. Подія А називається не залежних від події В, якщо ймовірність Р (А) не залежить від того, чи відбулося подія В чи ні.

Імовірність події А, обчислена за умови, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається P (A / B).

Подія, що складається в настанні хоча б однієї з подій А і В, називається сумою подій А і В і позначається А + В. Подія, що складається в настанні обох подій А і В, називається їх твором і позначається АВ.

Правило додавання ймовірностей виражається формулою

яка узагальнюється на будь-яке число доданків. Правило множення ймовірностей має вигляд

Це рівність для незалежних подій А до В переходить в наступне:

і узагальнюється на будь-яке число співмножників.

Нехай подія А може здійснюватися з одним і тільки з одним з n несумісних подій В1. В 2. ..., Вn. Тоді має місце рівність

яке називається формулою повної ймовірності.

При тому ж умови щодо події А ймовірність події Вi. якщо подія А сталося, визначається за формулою

званої формулою Байеса. або формулою ймовірності гіпотез.

Нехай проводиться n випробувань, кожне з яких може мати два результати - поява і не поява події А. Нехай, крім того, ймовірність р появи події А при якомусь випробуванні не залежить від номера цього випробування і від результатів інших випробувань (такі випробування називаються незалежними). Тоді ймовірність того, що при m випробуваннях подія А настає, а при n-m випробуваннях не настає, якщо її позначити Рn (А), визначається за формулою

Ця формула виражає так зване біноміальний розподіл ймовірностей (назва пов'язана з наявністю у формулі біноміальних коефіцієнтів Сn m).