Побудова геометричних фігур

Однією з важливих задач геометрії є побудова фігур з за-даними властивостями за допомогою креслярських інструментів. Ми будемо розглядати тільки такі побудови, які можна виконати за допомогою циркуля і лінійки. Завдання на побудову - це, мабуть, найдавніші математичні завдання, вони допомагають краще зрозуміти властивості геометричних фігур, сприяють розвитку графічних умінь. Вчителю початкових класів ці знання і вміння необхідні, так як при вивченні геометричного матеріалу можна залучати дітей до побудови фігур за допомогою циркуля і лінійки, але робити це треба грамотно, з урахуванням правил вирішення завдань на побудову в геометрії.

Існують умови, які треба дотримуватися при побудові фігур за допомогою циркуля і лінійки.

Циркуль - це інструмент, що дозволяє побудувати:

а) коло, якщо побудовані її центр і відрізок, рівний радіусу (або його кінці);

б) будь-яку з двох додаткових дуг окружності, якщо построе-ни її центр і кінці цих дуг.

Лінійка використовується як інструмент, що дозволяє побудувати:

а) відрізок, котрий поєднує дві побудовані точки;

б) пряму, що проходить через дві побудовані точки;

в) промінь, що виходить із побудованої крапки й проходить через дру-гую побудовану точку.

За допомогою циркуля і лінійки можна також зобразити:

а) будь-яке кінцеве число спільних точок двох побудованих фігур, ес-ли такі точки існують;

б) точку, свідомо не належить будь-якої побудованої фігурі;

в) точку, що належить будь-якої побудованої фігурі.

За допомогою основних побудов вирішуються деякі завдання, досить прості і часто зустрічаються при вирішенні інших, бо-леї складних. Такі завдання вважаються елементарними і опису їх вирішення, якщо вони зустрічаються при вирішенні більш складних, не дається. Вибір елементарних завдань є умовним.

Завдання на побудову вважається вирішеним, якщо зазначений спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті виконання вка-заних побудов дійсно виходить постать з необхідними властивостями.

Розглянемо деякі елементарні завдання на побудову.

1. Побудувати на даної прямий відрізок СD, рівний даному від-різку АВ

Можливість такого побудови випливає з аксіоми відкладаючи-ня відрізка. За допомогою циркуля і лінійки воно здійснюється сле-дую щим чином. Нехай дано пряма чи відрізок АВ. Відзначаємо на прямий точку С і будуємо з центром в точці С коло радіусом, рівним відрізку АВ. Точку перетину кола з прямою а обо-значущих D. Отримуємо відрізок СD, рівний АВ.

2. Відкласти від даної променя в дану напівплощина кут, рівний даному розі.

Нехай дано кут А і по-лупрямая з початкової точ-кою О. Проведемо коло довільного радіуса з цент-ром у вершині А даного кута (рис. А). Точки перетнути-ня кола зі сторонами кута позначимо В і С. Радіусом АВ проведемо окружність з центром в точці О (рис. Б). Крапку пере-перетину цієї окружності з даної променя позначимо В '. Опі-шем окружність з центром В 'і радіусом ВС. Точка С 'перетину побудованих кіл у зазначеній полуплоскости лежить на боці шуканого кута.

Побудований кут В'ОС 'дорівнює куту ВАС, так як це відпо-ють кути рівних трикутників АВС і В'ОС.

3. Знайти середину відрізка.

Нехай АВ - даний відрізок. Побудуємо дві окружності одного радіуса з центрами А і В (рис.). Вони перетинаються в точках С і С ', що лежать в різних півплощинах щодо відповідності-но прямої АВ. Проведемо пряму СС '. Вона пе-ресечет пряму АВ в точці О. Ця точка і є середина відрізка АВ.

Дійсно, трикутники САС 'і СВС' рівні за трьома сторонами. Звідси випливає дорівнює-ство кутів А СО і ОСВ. Значить, відрізок СО - бісектриса рівнобедреного трикутника АСВ і, отже, його медіана, тобто точка Про - се-редіна відрізка АВ.

4. Побудувати бісектрису даного кута.

З вершини А даного кута як з центру описуємо коло довільного радіуса (рис.). Нехай В і С точки її перетину

зі сторонами кута. З точок В і С описуємо кола одного радіуса. Нехай В - точка їх перетину, відмінна від А. Тоді по-лупрямая АТ і є бісектриса кута А. Доведемо це. Для цього розглянемо трикутники АВD і АСВ. Вони рівні за трьома сторо-нам. Звідси випливає рівність відповідних кутів DАВ і ВАС, тобто промінь АD ділить кут ВАС навпіл і, отже, є біс-сектрісой.

5. Через дану точку провести пряму, перпендикулярну дан-ної прямої.

Нехай дано точка О і пряма а. Можливі два випадки:

1) точка О лежить на прямій а;

2) точка О не лежить на прямій а.

У першому випадку побудова виконується так само, як і в завданні 4, тому що перпенд-куляр з точки О, що лежить на прямій, - це бісектриса розгорнутого кута (рис.).

У другому випадку з точки Про що з центру проводимо окружність, що перетинає пряму а (рис.), А потім з точок А і В тим же ра-Діус проводимо ще дві окружності. Нехай О '- точка їх перетину, що у напів-площині, відмінній від тієї, в якій лежить точка О. Пряма 00' і є перпендикуляр до даної прямої а. Доведемо це.

Позначимо через С точку перетину пря-мих АВ і 00 '. Трикутники АОВ і АО'В рівні за трьома сторонами. Тому кут ОАС дорівнює розі О'АС і, отже, трикутники ОАС і О'АС рівні за двома сторонами і кутом між ними. Звідси їх кути АСО і АСО 'рівні. А так як кути суміжні, то вони прямі. Таким чином, ОС є пер-пендікуляр до прямої а.

6. Через дану точку провести пряму, паралельну даній. Нехай дано пряма чи точка А поза цією прямою (рис.). Візь-мем на прямий а якусь точку У і з'єднаємо її до точки А. Через точку А проведемо пряму с, творчу з АВ такий же кут, який АВ утворює з дан-ної прямої а, але на протилежному боці від АВ. Побудована пряма буде паралельна прямій а, що випливає з рівності навхрест ле-службовців кутів, утворених при перетині прямих чи з січною АВ.