Підпростір лінійного простору

Визначення і розмірність підпростору

Визначення 6.1.ПодпространствомL n мірного простору R називається множина векторів, що утворюють лінійний простір по відношенню до дій, які визначені в R.

Іншими словами, L називається подпространством простору R. якщо з x, y ∈L слід, що x + y ∈L і якщо x ∈L. то λx ∈L. де λ - будь дійсне число.

Найпростішим прикладом підпростору є нульове підпростір, тобто підмножина простору R. що складається з єдиного нульового елемента. Подпространством може служити і весь простір R. Ці підпростору називаються тривіальними або невласними.

Підпростір n мірного простору конечномерного і його розмірність не перевищує n: dim L≤ dim R.

Сума і перетин підпросторів

Нехай L і M - два підпростору простору R.

CуммойL + M називається безліч векторів x + y. де x ∈L і y ∈M. Очевидно, що будь-яка лінійна комбінація векторів з L + M належить L + M. отже L + M є подпространством простору R (може співпадати з простором R).

ПересеченіемL ∩M підпросторів L і M називається безліч векторів, що належать одночасно підпростір L і M (може складатися тільки з нульового вектора).

Теорема 6.1. Сума размерностей довільних підпросторів L і M конечномерного лінійного простору R дорівнює розмірності суми цих підпросторів і розмірності перетину цих підпросторів:

dim L + dim M = dim (L + M) + dim (L∩M).

Доведення. Позначимо F = L + M і G = L∩M. Нехай G g -мірним підпростір. Виберемо в ньому базис. Так як G ⊂L і G ⊂M. отже базис G можна доповнити до базису L і до базису M. Нехай базис підпростору L і нехай базис підпростору M. Покажемо, що вектори

складають базис F = L + M. Для того, щоб вектори (6.1) становили базис простору F вони повинні бути лінійно незалежні і будь-який вектор простору F можна уявити лінійною комбінацією векторів (6.1).

Доведемо лінійну незалежність векторів (6.1). Нехай нульовий вектор простору F представляється лінійною комбінацією векторів (6.1) з деякими коефіцієнтами:

лінійно незалежні. Але будь-який вектор z з F (щодо визначення суми підпросторів) можна уявити сумою x + y. де x ∈L, y ∈M. У свою чергу x представляється лінійною комбінацією векторів а y - лінійною комбінацією векторів. Отже вектори (6.10) породжують підпростір F. Отримали, що вектори (6.10) утворюють базис F = L + M.

Вивчаючи базиси підпросторів L і M і базис підпростору F = L + M (6.10), маємо: dim L = g + l, dim M = g + m, dim (L + M) = g + l + m. отже:

dim L + dim M-dim (L∩M) = dim (L + M). # 9632;

Пряма сума підпросторів

Визначення 6.2. Простір F являє собою пряму суму підпросторів L і M. якщо кожен вектор x простору F може бути єдиним способом представлений у вигляді суми x = y + z. де y ∈ L і z ∈M.

Пряма сума позначається L ⊕M. Кажуть, що якщо F = L ⊕M. то F розкладається в пряму суму своїх підпросторів L і M.

Теорема 6.2. Для того, щоб n -мірним простір R представляло собою пряму суму підпросторів L і M. досить, щоб перетин L і M містило тільки нульовий елемент і щоб розмірність R дорівнювала сумі розмірностей підпросторів L і M.

Доведення. Виберемо деякий базис в підпросторі L і деякий базис в підпросторі M. Доведемо, що

є базисом простору R. За умовою теореми розмірність простору R n дорівнює сумі підпросторів L і M (n = l + m). Досить довести лінійну незалежність елементів (6.11). Нехай нульовий вектор простору R представляється лінійною комбінацією векторів (6.11) з деякими коефіцієнтами: