Обмежені функції, цариця математика

Визначення. Функція $ y = f (x) $, певна на безлічі $ X $, називається обмеженою понад у на цій множині, якщо $ \ exists b \; \ Forall x \ in X \; (F (x) \ le b) $.

Графічно обмеженість зверху означає, що існує така пряма $ y = b $, вище якої немає точок графіка функції $ y = f (x) $.

Число $ b $ називається верхньою межею функції $ y = f (x) $ на безлічі $ X $.

Визначення. Функція $ y = f (x) $, певна на безлічі $ X $, називається обмеженою знизу на безлічі $ X $, якщо $ \ exists a \; \ Forall x \ in X \; (F (x) \ ge a) $.

Число $ a $ називається нижньою межею функції $ f (x) $ на безлічі $ X $.

Графічно обмеженість знизу означає існування такої прямої $ y = a $, нижче якої немає точок графіка функції $ y = f (x) $.

Визначення. Функція $ y = f (x) $, певна на безлічі $ X $, називається обмеженою на цій множині, якщо $ \ exists a, \; b \; \ Forall x \ in X \; (A \ le f (x) \ le b) $ або $ \ exists c> 0 \; \ Forall x \ in X \; (| F (x) | \ le c) $.

Визначення. Число $ M $ називається верхньою межею фунции $ y = f (x) $ на безлічі $ X $, якщо виконані наступні умови: 1) $ \ forall x \ in X \; (F (x) \ le M) $, 2) $ \ forall \ varepsilon> 0 \; \ Exists x '\; (F (x ')> M - \ varepsilon) $.

Визначення. Число $ m $ назвается нижньою гранню функції $ y = f (x) $ на безлічі $ X $, якщо виконані умови: 1) $ \ forall x \ in X \; (F (x) \ ge m) $, 2) $ \ forall \ varepsilon> 0 \; \ Exists x '\ in X (f (x' ')

$ M = \ sup \ limits_ f (x) $ назиают локально найбільшим значенням. якщо $ X \ subset D (f) $ і глобально найбільшим значенням. якщо $ X = D (f) $.

$ M = \ inf \ limits_ f (x) $ назиают локально найменшим значенням. якщо $ X \ subset D (f) $ і глобально найменшим значенням. якщо $ X = D (f) $.

Визначення. Функція $ y = f (x) $ називається необмеженою на безлічі $ X $, якщо $ \ overline \; \ Equiv \; \ Forall c> 0 \; \ Exists x \ in X \; (| F (x) |> c) $.