Обчислення твори матриць, онлайн решебник

Твором матриці А = [аij] на число α (або твором числа α на матрицю А) називається матриця, елементи якої отримані множенням всіх елементів матриці А на число α, т. Е.

З визначення твори числа на матрицю безпосередньо випливають такі його властивості:

1) 1 А = А;
2) 0 A = 0;
3) α (βA) = (α β) A;
4) (α + β) A = α A + β A;
5) α (А + В) = α А + α В

(Тут А і B - матриці; α і β - числа).

Множення матриць А і В визначається тільки в припущенні, що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. В цьому припущенні елементи твору З визначаються наступним чином: елемент i-го рядка j-го стовпця матриці С дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В. Таким чином,

Зауважимо, що твір двох прямокутних матриць є знову прямокутна матриця, число рядків якої дорівнює числу рядків першої матриці, а число стовпців дорівнює числу стовпців другого матриці. Так, наприклад, твір квадратної матриці на матрицю, що складається з одного стовпця, є матриця з одного стовпця.

Перестановочний закон при множенні матриць, взагалі кажучи, не має місця. Легко бачити, що сама постановка питання про рівність матриць АВ і ВA має сенс тільки для квадратних матриць А і В однакового порядку. Дійсно, матриці АВ і ВА мають сенс одночасно тільки в разі, якщо число рядків першої матриці дорівнює числу стовпців другий, а число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої. При виконанні цих умов матриці АВ і ВА обидві будуть квадратними, але різних порядків, якщо А і В не квадратні. Але навіть і для квадратних матриць однакового порядку, взагалі кажучи, АВ ≠ ВА.