Невизначений інтеграл, математика-повторення

Записи з міткою "невизначений інтеграл"

При інтегруванні шляхом підведення під знак диференціала, в попередніх заняттях, ми підводили під знак диференціала лінійну функцію. Насправді, замість змінної u ми кожен раз мали на увазі вираз виду kx + b, тобто вважали: u-kx + b. отримували du ​​= kdx. а потім перед знаком інтеграла ставили коефіцієнт 1 / k. щоб не змінилося значення даного інтеграла. При вирішенні використовували властивості і таблицю інтегралів - лист Інтеграли.

А чи можна під знак диференціала підводити нелінійну функцію? Так, якщо підінтегральний вираз являє собою твір двох множників: один множник - складна функція від якоїсь нелінійної функції, а інший множник є похідна від цієї нелінійної функції. Розглянемо сказане на прикладах.

Знайти невизначені інтеграли.

Приклад 1. ∫ (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 dx = ∫ (x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) = (x² + x + 2) 6: 6 + C.

Що являє собою дане підінтегральний вираз? Твір статечної функції від (х 2 + х + 2) і множника (2х + 1), який дорівнює похідною від заснування ступеня: (х 2 + х + 2) '= 2х + 1.

Це і дозволило нам підбити (2х + 1) під знак диференціала:

(2x + 1) dx = d (x 2 + x + 2). А далі ми застосували формулу:

Перевірка. (F (x) + C) '= ((x² + x + 2) 6: 6 + C)' = 1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2) ' =

= (X 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1) (x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Приклад 2. ∫ (3x 2 - 2x + 3) (x 3x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫ (x 3x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3x 2 + 3x + 1 ) =

І чим цей приклад відрізняється від прикладу 1? Та нічим! Та ж п'ятий ступінь з основою (х 3х 2 + 3х + 1) множиться на тричлен (3х 2 - 2х + 3), який є похідною підстави ступеня: (х 3х 2 + 3х + 1) '= 3х 2 - 2х + 3. Це підстава ступеня ми і підвели під знак диференціала, від чого значення подинтегрального виразу не змінилося, а потім застосували ту ж формулу 1). (Інтеграли)

Тут похідна від (2х 3 - 3х) дасть (6х 2 - 3), а у нас

є (12х 2 - 6), тобто вираз в 2 рази більше, значить, підведемо (2х 3 - 3х) під знак диференціала, а перед інтегралом поставимо множник 2. Застосуємо формулу 2) (лист Інтеграли).

Ось що вийде:

Зробимо перевірку, враховуючи, що:

На минулому занятті (11.1.2), розглядаючи приклади на знаходження невизначених інтегралів, ми познайомилися зі способом підведення під знак диференціала (ми називали його другим способом). Фактично ми вводили нову змінну, не називаючи її, а тільки маючи на увазі.

На цьому занятті ми закріпимо навик заміни змінної в невизначеному інтегралі і знання властивостей і таблиці інтегралів. Нам знову знадобиться наш лист Інтеграли.

Приклади. Знайти невизначені інтеграли.

1. ∫ (6х + 5) 3 dx. Як будемо вирішувати? Дивимося в лист Інтеграли і розмірковуємо приблизно так: підінтегральна функція є ступінь, а у нас є формула для інтеграла ступеня (формула 1)), але в ній підставу ступеня u і змінна інтегрування теж u.

А у нас змінна інтегрування х. а підстава ступеня (6х + 5). Зробимо заміну змінної інтегрування: замість dx запишемо d (6х + 5). Що змінилося? Так як, то, що стоїть після знака диференціала d, за замовчуванням, диференціюється,

то d (6x + 5) = 6dx, тобто при заміні змінної х на змінну (6х + 5) підінтегральна функція зросла в 6 разів, тому перед знаком інтеграла ставимо множник 1/6. Записати ці міркування можна так:

Отже, ми вирішили цей приклад введенням нової змінної (змінну х замінили на змінну 6х + 5). А куди записали нову змінну (6х + 5)? Під знак диференціала. Тому, даний метод введення нової змінної часто називають методом (або способом) підведення (нової змінної) під знак диференціала.

У другому прикладі ми спочатку отримали ступінь з негативним показником, а потім підвели під знак диференціала (7х-2) і використовували формулу інтеграла ступеня 1) (Інтеграли).

Розберемо рішення прикладу 3.

Перед інтегралом стоїть коефіцієнт 1/5. Чому? Так як d (5x-2) = 5dx, то, підбивши під знак диференціала функцію u = 5x-2, ми збільшили підінтегральний вираз в 5 разів, тому, щоб значення цього виразу не змінилося - треба було розділити на 5, тобто . помножити на 1/5. Далі, була використана формула 2) (Інтеграли).

Всі найпростіші формули інтегралів матимуть вигляд:

∫f (x) dx = F (x) + C. причому, має виконуватися рівність:

Формули інтегрування можна отримати зверненням відповідних формул диференціювання.

Показник ступеня n може бути і дробовим. Часто доводиться знаходити невизначений інтеграл від функції у = √х. Обчислимо інтеграл від функції f (x) = √x, використовуючи формулу 1).

Запишемо цей приклад у вигляді формули 2).

Так як (х + С) '= 1, то ∫dx = x + C.

Замінюючи 1 / х² на х -2. обчислимо інтеграл від 1 / х².

А можна було отримати цю відповідь зверненням відомої формули диференціювання:

Запишемо наші міркування у вигляді формули 4).

Помноживши обидві частини отриманого рівності на 2, отримаємо формулу 5).

Знайдемо інтеграли від основних тригонометричних функцій, знаючи їх похідні: (sinx) '= cosx; (Cosx) '= - sinx; (Tgx) '= 1 / cos²x; (Ctgx) '= - 1 / sin²x. Отримуємо формули інтегрування 6) - 9).

Після вивчення показовою і логарифмічною функцій, додамо ще кілька формул.

Основні властивості невизначеного інтеграла.

I. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції.

II. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом.

III. Невизначений інтеграл від диференціала (похідною) деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої С.

Зверніть увагу: в I, II і III властивості знаки диференціала і інтеграла (інтеграла і диференціала) «з'їдають» один одного!

IV. Постійний множник подинтегрального вираження можна винести за знак інтеграла.

∫kf (x) dx = k · ∫f (x) dx, де k - постійна величина, яка не рівна нулю.

V. Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій.

VI. Якщо F (x) є первісна для f (x), а k і b - постійні величини, причому, k ≠ 0, то (1 / k) · F (kx + b) є первісна для f (kx + b). Дійсно, за правилом обчислення похідної складної функції маємо:

Для кожного математичного дії існує зворотне йому дію. Для дії диференціювання (знаходження похідних функцій) теж існує зворотна дія - інтегрування. За допомогою інтегрування знаходять (відновлюють) функцію по заданій її похідної або диференціалу. Знайдену функцію називають первісної.

Визначення. Диференціюється функція F (x) називається первісною для функції f (x) на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку справедливо рівність: F '(x) = f (x).

Приклади. Знайти Первісні для функцій: 1) f (x) = 2x; 2) f (x) = 3cos3x.

1) Так як (х²) '= 2х, то, за визначенням, функція F (x) = x² буде первісною для функції f (x) = 2x.

2) (sin3x) '= 3cos3x. Якщо позначити f (x) = 3cos3x і F (x) = sin3x, то, за визначенням первісної, маємо: F '(x) = f (x), і, отже, F (x) = sin3x є первісною для f ( x) = 3cos3x.

Зауважимо, що і (sin3x + 5) '= 3cos3x. і (sin3x-8,2) '= 3cos3x. в загальному вигляді можна записати: (sin3x + С) '= 3cos3x. де С - деяка постійна величина. Ці приклади свідчать про неоднозначність дії інтегрування, в відміну від дії диференціювання, коли у будь-який диференціюється існує єдина похідна.

Визначення. Якщо функція F (x) є первісною для функції f (x) на деякому проміжку, то безліч всіх первісних цієї функції має вигляд:

F (x) + C. де С - будь-яке дійсне число.

Сукупність всіх первісних F (x) + C функції f (x) на даному проміжку називається невизначеним інтегралом і позначається символом ∫ (знак інтеграла). Записують: ∫f (x) dx = F (x) + C.

Вираз ∫f (x) dx Новомосковскют: «інтеграл еф від ікс по де ікс».

f (x) dx - підінтегральний вираз,

f (x) - підінтегральна функція,

х - змінна інтегрування.

З - деяка постійна величина.

Тепер розглянуті приклади можна записати так:

Що ж означає знак d?

d - знак диференціала - має подвійне призначення: по-перше, цей знак відокремлює підінтегральної функції від змінної інтегрування; по-друге, все, що стоїть після цього знака діференціруется за замовчуванням і множиться на підінтегральної функції.

3) Після значка диференціала d варто х. Значить, змінна інтегрування х. а р слід вважати певною постійною величиною.

Зробимо перевірку. F '(x) = (px² + C)' = p · (x²) '+ C' = p · 2x = 2px = f (x).

4) Після значка диференціала d варто р. Значить, змінна інтегрування р. а множник х слід вважати певною постійною величиною.

Зробимо перевірку. F '(p) = (p²x + C)' = x · (p²) '+ C' = x · 2p = 2px = f (p).

Сторінка 1 з 1 1