Наукова мережа вектор стану

Вектор стану (амплітуда стану; символ або, запропонований П. А. М. Діраком) - основне поняття квантової механіки. математичний об'єкт, завдання якого в певний момент часу повністю визначає стан квантово-механічної системи і, при відомих взаємодіях, її подальшу еволюцію. Той факт, що об'єкт, що описує стан в квантовій механіці, в математичному відношенні повинен являти собою вектор. випливає з основного принципу квантової механіки - принципу суперпозиції станів (див. Суперпозиції принцип). З цього принципу випливає також, що сукупність векторів стану будь-якої фізичної системи утворює комплексне векторне простір. яке може бути конечномірні або безкінечномірні в залежності від того, чи містить воно кінцеве або нескінченне число лінійно незалежних векторів станів. Виходячи з визначення скалярного добутку вектора стану, можна кожному вектору цього простору взаємно однозначно зіставити пов'язаний (дуальний) йому вектор, пов'язаний з наступними співвідношеннями: якщо, де c1. c2 - довільні комплексні числа. то (означає комплексне сполучення). За термінологією, запропонованою Дираком, вектор називається "кет". а пов'язаний йому вектор - "бра". що відповідає розбиття англійського слова bracket (дужка) на дві частини. Якщо координати вектора "кет" в будь-якому базисі представляти у вигляді стовпчика, то координати вектора "бра" в зв'язаному базисі можуть бути представлені рядком з комплексно-сполучених чисел: (), а скалярний добуток двох векторів стану і, що позначається (причому) , виходить за правилами матричного множення (див. Матриця) шляхом множення рядка, що відповідає, на стовпець, що відповідає. Внаслідок взаємно однозначної відповідності між векторами "кет" і "бра" будь стан динамічної системи може бути описано за допомогою як вектора стану "кет", так і вектора стану "бра".

Скалярний добуток вектора стану саме на себе називається нормою. Воно являє собою узагальнення квадрата довжини звичайного вектора. У квантовій механіці постулюється, що вектора стану динамічної системи мають кінцевої неотрицательной нормою:. (Для векторів стану, що відповідають "нефізичних" змінним, ця вимога може бути ослаблене; см. Індефінітной метрика.)

У просторі вектор стану має сенс поняття ортогональності. яке є узагальненням відповідного поняття для звичайних векторів: два вектора стану і називаються ортогональними один одному, якщо.

Для завдання довільного вектора стану динамічної системи використовується в якості ортогонального нормованого (ортонормированного) базису сукупність векторів стану, що відповідають повного набору вимірюваних фізичних величин для даної системи, т. Е. Якщо величини F. G. H складають повний набір, а,. - відповідні їм ермітовим оператори. то в якості базису використовуються власні вектори станів.

де F. G. H (позначимо їх набір для стислості однією літерою n) - власні значення операторів,. . Якщо n утворюють дискретний спектр, то відповідні їм власні вектори стану можуть бути унормовані на одиницю:

тут, - символ Кронекера. , Якщо і, якщо n = n '(т. Е. Якщо F = F', G = G '. H = H'). Довільний вектор стану динамічної системи може бути представлений у вигляді розкладання:

де cn - координати вектора стану в базисі - являють собою функцію змінних n,

Функція називається хвильової функцією в поданні величин n. Квадрат модуля хвильової функції, згідно статистичної інтерпретації квантової механіки, дорівнює ймовірності того, що для системи, що знаходиться в стані, описуваному вектором стану, набір визначальних стан величин дорівнює n. Таким чином, хвильова функція являє собою амплітуду ймовірності. Оскільки завдання хвильової функції повністю визначає вектор стану динамічної системи, можна обчислити ймовірності можливих значень Ki будь-який інший фізичної величини K. що не входить в повний набір (n). Для цього вектор стану повинен бути розкладений але векторах стану, що відповідає іншому повного набору величин, що включає величину К (див. Уявлень теорія).

Якщо власні значення n (або деякі з них) утворюють суцільний спектр, підсумовування в (3) замінюється інтегруванням по відповідним величинам, а умова (2) нормування власних векторів стану на одиницю замінюється умовою нормування на дельта-функцію:

Квадрат модуля хвильової функції в цьому випадку дорівнює щільності ймовірності даного стану. Імовірність того, що для системи з векторами стану величини (n) будуть виявлені в інтервалах n + dn. дорівнює:

Формально умова (2 ') суперечить постулату квантової механіки, що вимагає існування кінцевої норми вектора стану. Це пов'язано з тим, що вектора стану, який відповідає певному значенню фізичної величини, що має безперервний спектр, є математичною ідеалізацією. Насправді будь-яка фізична величина F. приймаюча безперервні значення, може бути визначена тільки з деяким ступенем точності, яка залежить від дозволу приладу. Тому "фізичні" вектора стану, що відповідають заданим (середнього) значення вимірюваної величини, являють собою по суті хвильової пакет.

[У більш загальному випадку суперпозиція вектора стану (4) може містити коефіцієнти c (F '). плавно змінюються в інтервалі]. За умови нормування (2 '): норма вектора стану конечна: при будь-якому кінцевому Таким чином, "фізичні" вектора стану (4) задовольняють вимогу існування кінцевої норми. Однак в математичному відношенні використання їх представляє ряд незручностей. Тому в апараті квантової механіки, як правило, використовують "монохроматичні" вектори стану з умовою нормування (2 '), маючи на увазі, що з них завжди можна скласти "фізичні" вектори стану з кінцевої нормою.

Для динамічної системи, що складається з N частинок, повним набором вимірюваних величин може служити сукупність просторових координат всіх частинок (x1. Y1. Z1. XN. YN. ZN) разом з величинами, визначальними внутрішні ступені свободи частинок (наприклад, спинами). Координати вектора стану в цьому базисі

називається хвильової функцією в конфігураційному поданні. Умова існування кінцевої норми вектора стану:

означає, що вектора станів належать гільбертовому просторі. Використання в математичному апараті квантової механіки власних векторів станів з нескінченної нормою (2 ') для величин, що мають безперервний спектр. вимагає формального розширення простору Гільберта шляхом включення в нього також вектора стану з нескінченною нормою за умови, що хвильові пакети (4), складені з суперпозиції таких векторів станів, мають кінцевої нормою.

У квантовій теорії поля вектор стану часто задається в чисел заповнення поданні. Вектор стану системи частинок з імпульсами p1. pN і іншими квантовими числами:
виходить (з точністю до нормує множника) в результаті дії операторів народження частинок () на вектор стану вакууму:
У разі, коли число часток в системі може змінюватися (т. Е. В результаті взаємодій відбувається народження або знищення частинок), для завдання вектора стану використовується також Фока уявлення (в якому число частинок і системі не фіксоване).