Медіана як статистична характеристика

визначення медіани

Поняття медіани - це одна зі статистичних величин, що відносяться до кінцевого впорядкованого ряду чисел. Нехай нам дано кінцевий впорядкований ряд чисел $ a_1, \ a_2, \ \ dots, \ a_n $. Цей ряд може містити як парне, так і непарне кількість чисел. Тому поняття медіани має два визначення (в залежності від кількості чисел в кінцевому упорядкованому числовому ряду).

Медианой для кінцевого упорядкованого ряду чисел, що має непарне число елементів, називається число, записане в середині даного ряду.

Нехай дано ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тоді медіана даного ряду дорівнює 7.

Перед тим, як ввести друге визначення, згадаємо, що таке середньо арифметичне двох чисел.

Нехай дано ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Тоді медіана даного ряду дорівнює

Розглянемо тепер випадок, коли ряд чисел $ a_1, \ a_2, \ \ dots, \ a_n $ не впорядкований. У цьому випадку, перед тим як знайти медіану, даний ряд спочатку необхідно впорядкувати, тобто розставити всі числа в порядку зростання. Тільки після цього ми можемо застосувати визначення поняття медіани.

Нехай дано ряд 3, 7, 5, 4, 11, 6, 10, 9. Спочатку впорядкуємо даний ряд, отримаємо:

Обчислюємо за визначенням 3 медіану:

властивості медіани

Для поняття медіани можна виділити два наступних властивості:

  1. Якщо розподіл задано безперервно, то значення медіани збігається з одним з рішень рівняння \ [F \ left (x \ right) = 0,5 \]

Нагадаємо, що $ F \ left (x \ right) $ - функція розподілу випадкової величини.

  • Якщо ряд розподілу має парне число членів і два середніх члена $ a_k $ і $ a_ $ різні, то значення медіани належить інтервалу $ _k, a _) $.

    • Приклади розв'язання задач

    Знайти середнє арифметичне наступних рядів чисел.

    1. 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
    2. 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 84, 46.
    1. Так як даний ряд має 10 чисел, то середнє арифметичне одно \ [\ frac = \ frac = 12,9 \]
    2. Так як даний ряд має 9 чисел, то середнє арифметичне одно \ [\ frac = \ frac = 43 \]

    Відповідь: а) 12,9. б) 43.

    Знайти середнє арифметичне і медіани наступних числових рядів:

    1. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256
    2. 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79
    1. Так як ряд має 8 елементів, то середнє арифметичне одно: \ [\ frac = \ frac = 63,75 \]

    Так як даний ряд чисел впорядкований і має парне число елементів, то ми відразу можемо застосувати третє визначення, отримаємо, що медіана дорівнює:

    Так як даний ряд чисел впорядкований і має непарне число елементів, то ми відразу можемо застосувати перше визначення, отримаємо, що медіана дорівнює 46.

    Знайти медіану наступних рядів чисел.

    1. 3, 6, 13, 7, 3, 45, 24, 17, 8, 3.
    2. 10, 25, 43, 67, 13, 65, 34, 89, 46.
    1. Спочатку нам необхідно впорядкувати цей ряд, отримаємо: \ [3, \ 3, \ 3, \ 6, \ 7, \ 8, \ 13 \ 17 \ 24 \ 45 \]

    Так як даний ряд чисел впорядкований і має парне число елементів, то ми відразу можемо застосувати третє визначення, отримаємо, що медіана дорівнює:

    \ [\ Frac = \ frac = 6,5 \]
  • Спочатку нам необхідно впорядкувати цей ряд, отримаємо: \ [10, \ 13 \ 25 \ 34 \ 43 \ 46 \ 65 \ 67 \ 89 \]

    • Так як даний ряд чисел впорядкований і має непарне число елементів, то ми відразу можемо застосувати перше визначення, отримаємо, що медіана дорівнює 43.

    Відповідь: а) 6,5. б) 43.