Глава 5 затухаючі коливання
Ми показали, що при наявності в'язкого тертя в системі вона робить коливання, амплітуда яких зменшується за експоненціальним законом:
Швидкість загасання (убування амплітуди) залежить від тертя в системі: чим більше коефіцієнт опору. тим більше
значення величини. Видно, що величина d характеризує швидкість загасання коливань. З цієї причини d називають коефіцієнтом загасання.
Для електричних коливань в контурі коефіцієнт загасання залежить від параметрів котушки: чим більше активний опір котушки, тим швидше зменшуються амплітуди заряду на конденсаторі, напруги, сили струму.
Знайдемо відношення двох послідовних амплітуд, розділених проміжком часу в один період. Це відношення називають декрементом загасання
Зверніть увагу, що результат не залежить від того, які два послідовних періоди ви розглядаєте - на початку коливального руху або по закінченні якогось часу. За кожен період амплітуда коливань змінюється не на однакову величину, а в однакову кількість разів.
Неважко бачити, що за будь-які різні проміжки часу амплітуда згасаючих коливань зменшується в однакову кількість разів.
Часом релаксації називається час. за яке амплітуда згасаючих коливань зменшується в е раз:
Звідси неважко встановити фізичний зміст коефіцієнта загасання:
Таким чином, коефіцієнт загасання є величина, зворотна часу релаксації. Нехай, наприклад, в коливальному контурі коефіцієнт загасання дорівнює. Це означає, що через певний час з амплітуда коливань зменшиться в е раз.
Логарифмічний декремент загасання
Часто швидкість загасання коливань характеризують логарифмічним декрементом загасання. Для цього беруть натуральний логарифм від відношення амплітуд, розділених проміжком часу в період.
Важливо, що протягом першої половини періоду коливання маятника гармонійні!
При русі в зворотному напрямку - справа наліво сила тертя змінить напрямок, але протягом всього переходу буде залишатися постійною за модулем і напрямком. Ця ситуація знову таки відповідає коливанням маятника в постійному силовому полі. Тільки тепер це поле інше! Воно змінило напрямок. Отже, положення рівноваги при русі справа наліво теж змінилося. Тепер воно змістилося вправо на величину Dl0.
Зобразимо залежність координати тіла від часу. Оскільки за кожну половину періоду рух являє собою гармонійне коливання, то графік буде являти собою половинки синусоид, кожна з яких побудована щодо свого положення рівноваги. Ми будемо робити операцію «зшивання рішень».
Покажемо, як це робиться на конкретному прикладі.
Нехай маса вантажу, прикріпленого до пружини, дорівнює 200 г, жорсткість пружини 20 Н / м, коефіцієнт тертя між вантажем і поверхнею столу 0,1. Маятник привели в коливальний рух, розтягнувши пружину на
На відміну від коливальних систем з в'язким тертям в системах з сухим тертям амплітуда коливань зменшується з плином часу за лінійним законом - за кожен період вона зменшується на дві ширини зони застою.
Інша відмінна риса - коливання в системах з сухим тертям навіть теоретично не можуть відбуватися нескінченно довго. Вони припиняються, як тільки тіло зупиняється в «зоні застою».
§4 Приклади розв'язання задач
Завдання 1 Характер зміни амплітуди затухаючих коливань в системах з в'язким тертям
Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t1 = 5 хв зменшилася в 2 рази. За якийсь час t2 амплітуда коливань зменшиться в 8 разів? Через якийсь час t3 можна вважати, що коливання маятника припинилися?
Амплітуда коливань в системах з в'язким тертям з плином време-
ні зменшується по експоненті. де - амплітуда коливань в початковий момент часу, - коефіцієнт загасання.
1 Запишемо закон зміни амплітуда два рази
2 Вирішуємо рівняння спільно. Логарифмуючи кожне рівняння і отримуємо
Ділимо друге рівняння не перше і знаходимо час t2
3 Коливання можна вважати припинилися, коли енергія системи зменшиться в 100 разів:
4 Енергія системи дорівнює максимальної потенційної енергії маятника
Після перетворень отримуємо
Ділимо останнє рівняння на рівняння (*)
Завдання 2 Період затухаючих коливань в системах з в'язким тертям
Визначте період згасаючих коливань системи Т, якщо період власних коливань Т0 = 1 с, а логарифмічний декремент загасання. Скільки коливань здійснить ця система до повної зупинки?
1 Період затухаючих коливань в системі з в'язким тертям більше періоду власних коливань (при відсутності тертя в системі). Частота згасаючих коливань, навпаки, менше частоти власних і дорівнює. де - коефіцієнт загасання.
2 Висловимо циклічну частоту через період. і врахуємо, що логарифмічний декремент загасання дорівнює:
3 Після перетворень отримуємо.
4 Коливання можна вважати припинилися, коли енергія системи зменшиться в 100 разів:
Енергія системи дорівнює максимальної потенційної енергії маятника
Після перетворень отримуємо
5 Висловлюємо коефіцієнт загасання через логарифмічний декремент. отримуємо
Число коливань, яке зробить система до зупинки, так само
Завдання 3 Число коливань, що здійснюються маятником до зменшення амплітуди в два рази
Логарифмічний декремент загасання маятника дорівнює q = 3 × 10 -3. Визначте число повних коливань, яку повинен зробити маятник, щоб амплітуда його коливань зменшилася в 2 рази.
1 Амплітуда коливань в системах з в'язким тертям з плином часу зменшується по експоненті. де - амплітуда коливань в початковий момент часу, - коефіцієнт загасання.
Оскільки амплітуда коливань зменшується в 2 рази, отримуємо
2 Час коливань можна представити як добуток періоду коливань на їх кількість:
Підставляємо отримане значення часу в вираз (*)
3 Неважко бачити, що - логарифмічний декремент загасання. отримуємо
Знаходимо число коливань
Завдання 4 Добротність коливальної системи
Визначте добротність маятника, якщо за час, протягом якого було скоєно 10 коливань, амплітуда зменшилася в 2 рази. Через якийсь час маятник зупиниться?
1 Амплітуда коливань в системах з в'язким тертям з плином часу зменшується по експоненті. де - амплітуда коливань в початковий момент часу, - коефіцієнт загасання.
Оскільки амплітуда коливань зменшується в 2 рази, отримуємо
2 Час коливань можна представити як добуток періоду коливань на їх кількість:
Підставляємо отримане значення часу в вираз (*)
3 Неважко бачити, що - логарифмічний декремент загасання. Отримуємо Логарифмический декремент загасання дорівнює
4 Добротність коливальної системи
5 Коливання можна вважати припинилися, коли енергія системи зменшиться в 100 разів:
Енергія системи дорівнює максимальної потенційної енергії маятника
Після перетворень отримуємо
Знаходимо час, через яке коливання припиняться.
Завдання 5 Коливання магніту
1 При русі з крайнього нижнього в крайнє верхнє положення, коли швидкість вантажу спрямована вгору, сила тертя ковзання спрямована вниз і чисельно дорівнює. Таким чином, пружинний маятник знаходиться в постійному силовому полі, створеному силами тяжкості і тертя. У постійному силовому полі у маятника зміщується положення рівноваги:
де - розтягнення пружини в новому «положенні рівноваги».
де - деформація пружини в новому «положенні рівноваги», знак «-» говорить, що в цьому положенні пружина стиснута.
3 Зона застою обмежена деформаціями пружини від - 1 см до 3 см і становить 4 см. Середина зони застою, в якій деформація пружини дорівнює 1 см, відповідає положенню вантажу, в якому сила тертя відсутнє. У зоні застою сила пружності пружини по модулю менше рівнодіюча максимальної сили тертя спокою і сили тяжіння. Якщо маятник зупиняється в зоні застою, коливання припиняються.
4 За кожен період деформація пружини зменшується на дві ширини зони застою, тобто на 8 см. Після одного коливання деформація пружини стане рівною 10 см - 8 см = 2 см. Це означає, що після одного коливання фігурка Колобка потрапляє в зону застою і її коливання припиняються.
§5 Завдання для самостійного рішення
Тест «Рівняння коливання»
1 Під загасанням коливань розуміють ...
А) зменшення частоти коливань; Б) зменшення періоду коливань;
В) зменшення амплітуди коливань; Г) зменшення фази коливань.
2 Причина загасання вільних коливань -
А) дію на систему випадкових факторів, що гальмують коливання;
Б) дію періодично мінливого зовнішнього сили;
В) наявність в системі сили тертя;
Г) поступове зменшення квазіпружної сили, яка прагне повернути маятник в положення рівноваги.
3 З наведених нижче рівнянь руху виберіть те, яке відповідає загасаючим коливань в системі з в'язким тертям.
4 Два однакових математичних маятника коливаються, один в вакуумі, інший в стислому повітрі. Порівняйте період коливання Т маятника в повітрі з періодом коливання маятника в вакуумі.
5 Математичний маятник почав коливатися з амплітудою 9 см. Через деякий час амплітуда коливань стала рівною 6 см. Який буде амплітуда коливань через наступний проміжок часу?
А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см;
Г) Відповідь дати не можливо, оскільки невідомо час.
В) Відповідь дати неможливо, оскільки по осях координат не проставлено масштаб і виконати розрахунки не можна.
В) Відповідь дати неможливо, оскільки по осях координат не проставлено масштаб і виконати розрахунки не можна.
8 На якому малюнку правильно показана залежність координати згасаючих коливань в системі з в'язким тертям від часу?
А) 1; Б) 2; У 3; Г) Всі графіки вірні.
9 Установіть відповідність між фізичними величинами, що характеризують загасання коливань в системах з в'язким тертям, і їх визначенням та фізичним змістом. Заповніть таблицю
Визначення, фізичний зміст
Під добротністю розуміють ...
А) збільшене в 2p раз відношення повної енергії системи E до енергії W. розсіяною за період;
Б) відношення амплітуд через проміжок часу, що дорівнює періоду;
В) кількість коливань, яке здійснює система до того моменту, коли амплітуда зменшиться в е раз.
Добротність розраховують за формулою ...
Добротність коливальної системи залежить від ...
А) енергії системи;
Б) втрат енергії за період;
В) параметрів коливальної системи і тертя в ній.
Чим більше добротність коливальної системи, тим ...
А) повільніше загасають коливання;
Б) швидше загасають коливання.
11 Математичний маятник призводять в коливальний рух, відхиливши підвіс від положення рівноваги в першому випадку на 15 °, у другому - на 10 °. В якому випадку маятник здійснить більше коливань до зупинки?
А) Коли підвіс відхилили на 15 °;
Б) Коли підвіс відхилили на 10 °;
В) В обох випадках маятник здійснить однакове число коливань.
12 До двох ниток однакової довжини прикріпили кульки однакового радіусу - алюмінієвий і мідний. Маятники призводять в коливальний рух, відхиливши їх на однакові кути. Який з маятників зробить більшу кількість коливань до зупинки?
А) Алюмінієвий; Б) Мідний;
В) Обидва маятника зроблять однакову кількість коливань.
13 Пружинний маятник, розташований на горизонтальній поверхні, привели в коливання, розтягнувши пружину на 9 см. Після скоєння трьох повних коливань маятник виявився на відстані 6 см від положення недеформованою пружини. На якій відстані від положення недеформованою пружини виявиться маятник після наступних трьох коливань?
А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см.