Формула Ейлера
Ейлерова навантаження, формула Ейлера спрямують
Л. Ейлер отримав формулу для визначення теоретичної навантаження (Ейлерова навантаження). при якій відбувається втрата стійкості стержня. Формула Ейлера. , Де Е - модуль Юнга; - мінімальний головний центральний момент інерції поперечного перерізу стержня (очевидно, що при втраті стійкості вигин стержня відбудеться в площині найменшої згинальної жорсткості); - коефіцієнт приведення довжини, що залежить від форми втрати стійкості; l - довжина стрижня. Твір - приведена довжина стержня.
Формула Ейлера для шарнірно-опертого стержня, стиснутого по кінцях
Для шарнірно опертого стержня, стиснутого по кінцях, формула Ейлера для визначення критичної навантаження. (Коефіцієнт приведення довжини).
Основний випадок втрати стійкості - випадок, коли при закріпленні кінців стержня і додатку навантаження форма втрати стійкості є однією півхвилю синусоїди (рис. 12.2, а).
Деякі інші способи закріплення кінців стрижня (навантаження як і раніше прикладена по торцях) легко можуть бути приведені до основного зв'язку з втратою стійкості шляхом зіставлення форми зігнутої осі з формою втрати стійкості шарнірно опертого стрижня.
Формула Ейлера для стержня з затисненим і вільним кінцями
При втраті стійкості стержень з жорстко затисненим одним і вільним іншим кінцем зігнеться, як показано на (рис. 12.2, б). Форма втрати стійкості цього стрижня являє собою чверть синусоїди. Наведена довжина дорівнює (полуволна синусоїди має довжину), а ейлерова сила в чотири рази менше, ніж для основного випадку. Формула Ейлера для стержня з затисненим і вільним кінцями:.
Формула Ейлера для стержня з щемлені кінцями
Для стрижня, обидва кінці якого жорстко затиснені, форма втрати стійкості така, що одна полуволна синусоїди займає половину довжини стрижня (рис. 12.2, в). Тому приведена довжина стержня дорівнює (), а формула ейлеровой навантаження.
Критичною () прийнято називати справжню, а ейлеровой () - теоретичну навантаження, при якій відбувається втрата стійкості стержня.
Формула Ейлера отримана з припущення, що в момент втрати стійкості напруги стиснення в стрижні не перевищують межі пропорційності:. Модуль Юнга (Е) у формулі Ейлера свідчить про те, що аж до моменту втрати стійкості виконувався закон Гука. Якщо втрата стійкості відбувається при напрузі меншому, ніж, то.
Для стрижнів, які втрачають стійкість при напрузі, що перевищує межу пропорційності (), використання формули Ейлера принципово неправильно і вкрай небезпечно, оскільки критичне навантаження (справжня навантаження, при якій відбувається втрата стійкості) менше ейлеровой навантаження:.
Межі застосовності формули Ейлера
Межі застосовності формули Ейлера можна встановити, попередньо ввівши поняття гнучкості стрижня. Визначимо ейлерови напруги. виходячи з формули Ейлера:
.
Тут - мінімальний радіус інерції; -Гнучкість стисненого стержня:. Величину в правій частині нерівності позначимо і назвемо граничною гнучкістю. Тоді. На відміну від гнучкості стрижня, гранична гнучкість залежить тільки від фізико-механічних властивостей матеріалу і не залежить від розмірів. Гранична гнучкість - постійна для даного матеріалу величина. Наприклад, для сталі Ст. 3.
Використовуючи поняття граничної гнучкості, межі застосовності формули Ейлера можна представити у вигляді:.
Формула Ейлера дає справжнє значення навантаження, при якій відбувається втрата стійкості стержня в разі, коли гнучкість розраховується стрижня більше або дорівнює граничної гнучкості для матеріалу, з якого він виготовлений.