Безперервність функції на проміжку - студопедія

Теорема 3.3.2. Якщо функція у = f (x) неперервна на відрізку [a. b] і на його кінцях приймає нерівні значення f (а) = А, f (b) = В, А ¹ В, то яким би не було число С, укладену між А і В, знайдеться точка з Î [A. b] така, що f (с) = С.

Геометричний сенс теореми ілюструється на рис.3. Будь-яка пряма у = С, де A C> B), перетинає графік функції у = f (x).

Слідство. Якщо функція неперервна на відрізку і на його кінцях приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку знайдеться хоча б одна точка, в якій функція звертається в нуль.

Геометричний сенс слідства ілюструється на рис.4.

Питання для самоконтролю

1. Яка функція називається неперервною в точці?

2. Наведіть ще одне еквівалентне визначення через приріст функції і аргументів.

3. Що можна сказати про суму, різниці, добутку і приватному двох безперервних функцій?

4. При яких значеннях аргументу ціла раціональна і дрібно-раціональна функції безупинні?

5. Коли складна функція неперервна в точці?

6. Що називається точкою розриву функцій?

7. Які точки називаються точками розриву першого роду?

8. Яка величина називається стрибком функції?

9. Роз'ясніть поняття '' точка усувного розриву ''. Наведіть приклади.

10. Які точки називаються точками розриву другого роду? Наведіть приклади.

11. Роз'ясніть поняття: '' безперервність на інтервалі '', '' безперервність праворуч '', '' безперервність зліва '', '' безперервність на відрізку ''.

12. Дайте визначення найбільшого і найменшого значення функцій.

13. Сформулюйте теорему про зв'язок безперервності на відрізку з найбільшим і найменшим значеннями функції. Роз'ясніть її на малюнку.

14. Сформулюйте теорему про зв'язок безперервності функцій на відрізку з відрізком значень функцій. Проілюструйте її геометричний сенс на малюнку.

15. Наведіть наслідок з вищевказаної теореми і його геометричну інтерпретацію.

Тема лекції: Похідна функції

План лекції: Поняття похідної, її геометричний і фізичний зміст. Основні правила диференціювання. Похідна складної функції. Деякі додатки похідною.

4.1. Поняття похідної, її геометричний і фізичний зміст

Определеніе.Проізводной функції у = f (x) в точці х0 називається границя відношення приросту цієї функції до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля:

Геометричний зміст похідної. похідна від цієї функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю Ох і дотичної до графіка цієї функції у відповідній точці (див. рис.1):