Залежні і незалежні випадкові події

Розрізняють події залежні і незалежні. Дві події називаються незалежними, якщо поява однієї з них не змінює ймовірність появи іншого. Наприклад, якщо в цеху працюють дві автоматичні лінії, за умовами виробництва не взаємопов'язані, то зупинки цих ліній є незалежними подіями.

Кілька подій називаються незалежними в сукупності. якщо будь-який з них не залежить від будь-якого іншого події і від будь-якої комбінації інших.

Події називаються залежними. якщо одне з них впливає на ймовірність появи іншого. Наприклад, дві виробничі установки пов'язані єдиним технологічним циклом. Тоді ймовірність виходу з ладу однієї з них залежить від того, в якому стані знаходиться інша. Імовірність одного події B, обчислена в припущенні здійснення іншої події A, називається умовною ймовірністю події Bі позначається P.

Умова незалежності події B від події A записують у вигляді P = P, а умова його залежності - у вигляді P ≠ P.

Імовірність події в випробуваннях Бернуллі. Формула Пуассона.

Повторними незалежними випробуваннями, випробуваннями Бернуллі або схемою Бернуллі називаються такі випробування, якщо при кожному випробуванні є тільки два виходи - поява події А чи й ймовірність цих подій залишається незмінною для всіх випробувань. Ця проста схема випадкових випробувань має велике значення в теорії ймовірностей.

Найбільш відомим прикладом випробувань Бернуллі є досвід з послідовним киданням правильної (симетричною і однорідної) монети, де подією А є випадання, наприклад, "герба", ( "решки").

Нехай в деякому досвіді ймовірність події А дорівнює P (А) = р. тоді. де р + q = 1. Виконаємо досвід n раз, припустивши, що окремі випробування незалежні, а значить результат будь-яких з них не пов'язаний з наслідками попередніх (або наступних) випробувань. Знайдемо ймовірність появи подій А точно k раз, скажімо тільки в перших k випробуваннях. Нехай - подія, що полягає в тому, що при n випробуваннях подія А з'явитися точно k раз в перших випробуваннях. Подія можна представити у вигляді

Оскільки досліди ми припустили незалежними, то

41) [стр2] Якщо ставити питання про появу події А k-раз в n випробуваннях в довільному порядку, то подія представимо у вигляді

Число різних доданків в правій частині цієї рівності дорівнює числу випробувань з n по k. тому ймовірність подій. яку будемо позначати. дорівнює

Послідовність подій утворює повну групу незалежних подій. Дійсно, з незалежності подій отримуємо

Кажуть, що випадкова величина Х має розподіл Пуассона. якщо її можливі значення: 0,1,2, ... m (нескінченне, але рахункове безліч значень), а відповідні ймовірності виражаються формулою: (2)

Розподіл Пуассона (2) залежить від одного параметра а, який є одночасно математичним очікуванням і дисперсією вільної величини Х.; ; .