Закон Біо-Саварен-Лапласа і його застосування до розрахунку магнітного поля прямого і кругового струмів
Закон Біо - Савара - Лапласа для провідника зі струмом I. елемент якого dl створює в деякій точці А (рис. 164) індукцію поля dB. записується у вигляді
де dl - вектор, по модулю дорівнює довжині dl елемента провідника і збігається за напрямком зі струмом, r - радіус-вектор,
проведений з елемента dl провідника в точку А поля, r - модуль радіуса-ВЕКТА-ра р Напрямок dB перпендикулярно dl і r. т. е. перпендикулярно площині, в ко-торою вони лежать, і збігається з каса-котельної до лінії магнітної індукції. Цей напрямок може бути знайдено за правилом знаходження ліній магнітної Індуктори ції (правилом правого гвинта): напрямок обертання головки гвинта дає напрямок dB. якщо поступальний рух гвинта відповідає напрямку струму в елементі.
Модуль вектора dB визначається ви-раженіем
де а - кут між векторами dl і р
Для магнітного поля, як і для елек-тричних, справедливий принцип суперпо-зиции: магнітна індукція результуючого-ного поля, створюваного декількома то-ками або рухомими зарядами, дорівнює векторній сумі магнітних індукцій складаються полів, створюваних каж-дим струмом або рухомим зарядом в від-дельности:
Розрахунок характеристик магнітного поля (В і Н) за наведеними формулами в об-щем випадку досить складний. Однак якщо розподіл струму має певну симетрію, то застосування закону Біо - Савара - Лапласа спільно з принци-пом суперпозиції дозволяє досить просто розрахувати конкретні поля. Рас-дивимося два приклади.
1. Магнітне поле прямого струму - струму, поточного по тонкому прямому про воду нескінченної довжини (рис. 165). У довільній точці А, віддаленій від осі провідника на відстань R, вектори dB від всіх елементів струму мають одина-ковое напрямок, перпендикулярний площині креслення ( «до нас»). Тому складання векторів dB можна замінити складанням їх модулів. Як по-постійної інтегрування виберемо кут а (кут між векторами dl і r), висловивши через нього всі інші величини. З рис. 165 випливає, що
(Радіус дуги CD внаслідок малості dl дорівнює r, і кут FDC з цієї ж причини можна вважати прямим). Підставивши ці вирази в (110.2), отримаємо, що маг-нітних індукція, створювана одним еле-ментом провідника, дорівнює
Так як кут а для всіх елементів прямо-го струму змінюється в межах від 0 до я, то, згідно з (110.3) і (110.4),
Отже, магнітна індукція поля прямого струму
2. Магнітне поле в центрі кругового провідника із струмом (рис. 166). Як сліду-ет з малюнка, все елементи кругового провідника із струмом створюють в центрі магнітне поле однакового спрямування - уздовж нормалі від витка.
Тому склалася-ня векторів dB можна замінити складанням третьому їх модулів. Так як всі елементи провідника перпендикулярні радіусу-вектору (sina = 1) і відстань всіх еле-ментів провідника до центру кругового струму однаково одно R, то, згідно з (110.2),
Отже, магнітна індукція поля в центрі кругового провідника із струмом
18. Потік магнітного поля. Теорема Гаусса для # 7682 ;.
Потоком вектора магнітної індукції (магнітним потоком) через майданчик зв. скалярна величина. де кут між векторами (вектор нормалі до площини контура) і.
Для однорідного поля і плоскої поверхні, розташованої перпендикулярно вектору. . Магнітний потік крізь поверхню з площею знаходиться алгебраїчним підсумовуванням потоків крізь ділянки поверхні.
Теорема Гаусса: потік вектора магнітної індукції через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю:.
Ця теорема відображає факт відсутності магнітних зарядів, внаслідок чого лінії магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця і є замкнутими.
19. Теорема про циркуляцію вектора # 7682 ;, її застосування до розрахунку полів. Поле соленоїда.
Теорема про циркуляцію вектора В має в навчанні про магнітне поле таке ж значення як теорема Гаусса в електростатики, так як дозволяє знаходити магнітну індукцію поля без застосування закону Біо-Савара-Лапласа.
1). Продемонструємо справедливість теореми про циркуляцію вектора В на прикладі магнітного поля прямого струму 1. перпендикулярного площині креслення і спрямованого до нас (рис. 13). Уявімо собі замкнутий контур у вигляді кола радіуса r. У кожній точці цього контуру вектор В однаковий по модулю і спрямований по дотичній до окружності. Отже, циркуляція вектора В дорівнює
Таким чином, виходячи з теореми про циркуляцію вектора В. отримали вираз для магнітної індукції поля прямого струму, виведене вище (2.6).
2). Розрахуємо індукцію магнітного поля всередині соленоїда - циліндричної котушки, що складається з великої кількості витків рівномірно намотаних на загальний сердечник. Розглянемо соленоїд довжиною l. має n витків, по якому тече струм I (рис.14). Довжину соленоїда вважаємо у багато разів більшою, ніж діаметр його витків, тобто розглянутий соленоїд нескінченно довгий. Експериментальне вивчення магнітного поля соленоїда, проведене за допомогою залізної тирси показує, що всередині соленоїда поле є однорідним, поза соленоїдом неоднорідним і дуже слабким, тобто його можна практично вважати рівним нулю.
Циркуляція вектора В по замкнутому контуру, що збігається з однією з ліній магнітної індукції, АВСD. і охоплює всі n витків згідно (9.2), дорівнює
Інтеграл по АВСDЕ можна представити у вигляді двох - по зовнішньому ділянці ABCD (він дорівнює нулю, так як поза соленоїдом В = 0) і за внутрішнім DA.
На ділянці D А циркуляція вектора В дорівнює Вl (контур збігається з лінією магнітної індукції); отже,
Звідси приходимо до виразу для магнітної індукції поля всередині соленоїда (в вакуумі):
Отримали, що поле всередині соленоїда однорідне.
3). Важливе значення для практики має також магнітне поле тороїда - кільцевої котушки, витки якої намотані на сердечник, що має форму тора. Магнітне поле зосереджено всередині тороїда, поза ним поле відсутнє. Тороид можна розглядати як досить довгий соленоїд свити в кільце і для розрахунку напруженості магнітного поля тороїда користуватися формулою (10.2):
Причому довжину тороида l слід вважати по середній лінії, нехтуючи невеликим розходженням між зовнішньою і внутрішньою колами кільця.
Сила Ампера це та сила, з якою магнітне поле діє на провідник, з струмом поміщений в це поле. Величину цієї сили можна визначити за допомогою закону Ампера. В цьому законі визначається нескінченно мала сила для нескінченно малого ділянки провідника. Що дає можливість застосовувати цей закон для провідників різної форми.
Формула 1 - Закон Ампера
B індукція магнітного поля, в якому знаходиться провідник зі струмом
I сила струму в провіднику
dl нескінченно малий елемент довжини провідника зі струмом
альфа кут між індукцією зовнішнього магнітного поля і напрямком струму в провіднику
Напрямок сили Ампера знаходиться за правилом лівої руки. Формулювання цього правила, звучить так. Коли ліва рука розташована таким чином, що лини магнітної індукції зовнішнього поля входять в долоню, а чотири витягнутих пальці вказують напрямок руху струму в провіднику, при цьому відігнутий під прямим кутом великий палець буде вказувати напрям сили, яка діє на елемент провідника.
Малюнок 1 - правило лівої руки
Деякі проблеми виникають, при використанні правила лівої руки, в разі якщо кут між індукцією поля і струмом маленький. Важко визначити, де повинна знаходитися відкрита долоня. Тому для простоти застосування цього правила, можна долоню розташовувати так, щоб в неї входить не сам вектор магнітної індукції, а його модуль.
Із закону Ампера слід, що сила Ампера буде дорівнює нулю, якщо кут між лінією магнітної індукції поля і струмом буде дорівнює нулю. Тобто провідник буде розташовуватися уздовж такої лінії. І сила Ампера буде мати максимально можливе значення для цієї системи, якщо кут становитимуть 90 градусів. Тобто струм буде перпендикулярний лінії магнітної індукції.
За допомогою закону Ампера можна знайти силу, що діє в системі з двох провідників. Уявімо собі два нескінченно довгих провідника, які знаходяться на відстані один від одного. За цим провідникам протікають струми. Силу, що діє з боку поля створюваного провідником зі струмом номер один на провідник номер два можна представити у вигляді.