Властивість діагоналей паралелограма

Теорема 6.2 (зворотна теоремі 6.1). Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення. Нехай ABCD - даний паралелограм (рис. 120). Проведемо його діагональ BD. Відзначимо на ній середину О і на продовженні відрізка АТ відкладемо відрізок ОС1. рівний АТ.

По теоремі 6.1 чотирикутник ABC1 D є паралелограм. Отже, пряма ВС1 паралельна AD. Але через точку В можна провести тільки одну пряму, паралельну AD. Значить, пряма ВС1 збігається з прямою ВС.

Точно так само доводиться, що пряма DC1 збігається з прямою DC.

Значить, точка С1 збігається з точкою С. Паралелограм ABCD збігається з ABC1 D. Тому його діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Теорема доведена.

Завдання (6). Через точку перетину діагоналей паралелограма проведена пряма. Доведіть, що відрізок її, укладений між паралельними сторонами, ділиться цією точкою навпіл.

Рішення. Нехай ABCD - даний паралелограм і EF - пряма, яка перетинає паралельні сторони АВ і CD (рис. 121). Трикутники ОАЕ і ВСО рівні за другою ознакою. У них сторони OA і ОС рівні, так як О - середина діагоналі АС. Кути при вершині Про рівні як вертикальні, а кути ЄАО і FCO рівні як внутрішні навхрест лежачі при паралельних АВ, CD і січною АС.

З рівності трикутників випливає рівність сторін: OE = OF, що й треба було довести.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Планування уроків з математики онлайн. завдання та відповіді по класам, домашнє завдання з математики 8 класу скачати

Якщо у вас є виправлення або пропозиції до даного уроку, напишіть нам.

Якщо ви хочете побачити інші коригування та побажання до уроків, дивіться тут - Освітній форум.