Власні вектори лінійного оператора

Ненульовий вектор лінійного простору над полем називається власним вектором лінійного оператора. якщо існує таке число. що

Число з рівності (15.10) називається власним значенням оператора. відповідним власному вектору.

Іншими словами, власним вектором лінійного оператора є такий ненульовий вектор лінійного простору. який коллінеарен своїм образом при операторі.

Властивості власних векторів. 1. Кожному власному вектору відповідає єдине власне значення.

2. Власні вектори з різними власними значеннями лінійно незалежні.

3. Будь-який ненульовий вектор, колінеарний власному вектору оператора. також є власним, причому з тим же власним значенням.

4. Не рівна нульового вектору лінійна комбінація власних векторів оператора з одним і тим же власним значенням також є власним вектором, причому з тим же власним значенням.

5. Безліч всіх власних векторів лінійного оператора з одним і тим же власним значенням разом з нульовим вектором є подпространством лінійного простору. Це підпростір будемо називати власним подпространством оператора і позначати.

Приклад. 15.27. Нехай і - власні вектори лінійного оператора з різними власними значеннями, і - відмінні від нуля числа. Довести, що вектор власним не є (порівняйте з властивістю 4).

# 8710; Позначимо і - власні значення лінійного оператора. відповідні власним векторах і відповідно,. Припустимо, що вектор також є власним вектором оператора. і нехай - його власне значення. тоді

[Вектори і - власні]

В силу лінійної незалежності власних векторів з різними власними значеннями, з останнього рівності випливає, що. . Так як числа і відмінні від нуля, то. . отже. і ми прийшли до протиріччя. ▲

Приклад. 15.28. Позначимо - лінійний простір функцій, визначених і нескінченне число разів безперервно диференційовних на всій числовій прямій, - оператор диференціювання, що ставить у відповідність кожній функції її похідну (тобто), - тотожний оператор. Показати, що функція є власною функцією, як лінійного оператора. так і лінійного оператора. тоді як є власною функцією лінійного оператора. але не буде власної функцією оператора.

# 8710; Проводимо перевірку безпосередньо за визначенням:

Нехай простір конечномерное, тобто . Якщо - матриця лінійного оператора в деякому базисі, - координатний стовпець власного вектора в тому ж базисі, то рівність (1) рівносильно рівності

Приклад. 15.29. В деякому базисі тривимірного простору лінійний оператор має матрицю. Перевірити, які з векторів. і будуть власними векторами цього оператора і вказати їх власні значення.

# 8710; Для кожного із заданих векторів перевіряємо умову (15.11):

Позначимо матрицю лінійного оператора в деякому базисі лінійного простору. - координатний стовпець вектора в тому ж базисі.

Характеристичним многочленом лінійного оператора і його матриці називається многочлен. рівняння

називається характеристичним рівнянням оператора і його матриці, а коріння цього рівняння - їх характеристичними числами.

Якщо - лінійний простір над полем. - лінійний оператор, то справедливі наступні твердження:

а) власними значеннями лінійного оператора є його характеристичні числа, що належать полю. і тільки вони;

б) для кожного власного значення ненульові стовпці-рішення однорідної системи лінійних рівнянь

є координатними стовпчиками власних векторів оператора. відповідних своїм значенням;

Правило знаходження власних векторів в скінченномірному просторі. 1. Складаємо характеристичне рівняння (15.12) матриці і знаходимо його коріння. Ті з них, які належать полю. будуть власними значеннями.

2. Для кожного із знайдених власних значень знаходимо відповідні йому власні вектори, вирішуючи однорідну систему лінійних рівнянь (15.13) за умови, що.

Зауваження. 1. Для будь-якої вироджених квадратної однорідної системи лінійних рівнянь () упорядкований набір, що складається з алгебраїчних доповнень до елементів якого-небудь рядка її матриці, є рішенням цієї системи (доказ див., Наприклад, в []).

2. Характеристичне рівняння лінійного оператора в вимірному лінійному просторі має -тую ступінь, і в загальному випадку для його вирішення немає ніяких формул. Тому характеристичний многочлен доцільно розкласти на множники ще на стадії його обчислення. Наприклад, при обчисленні визначника третього порядку слід звертати увагу на елементи, зазначені в (15.14) однаковим чином:

Застосовуючи елементарні перетворення в першому випадку до стовпців матриці, а в другому - до її рядках, добиваємося, щоб один з двох зазначених однаковим чином елементів звернувся в нуль. При цьому із запропонованих шести перетворень слід вибирати таке, після якого відмінні від нуля елементи в перетвореної рядку або стовпці мають загальний множник. Якщо ж жодна з перерахованих перетворень не дає бажаного результату, слід порахувати визначник будь-яким способом, а потім знайти корені рівняння будь-яким з відомих шкільних методів.

Приклад. 15.30. Знайти власні вектори лінійного оператора. який в деякому базисі дійсного лінійного простору V3 має матрицю

# 8710; Знаходимо характеристичний поліном. відзначаючи стрілками застосовуються елементарні перетворення:

Цей многочлен має коріння. Всі вони дійсні, тому все є власними значеннями. Для кожного з власних значень знаходимо власні вектори, вирішуючи однорідну систему з матрицею:

а). . Вирішимо систему методом виключення невідомих, для чого спростимо її матрицю, застосовуючи елементарні перетворення тільки до рядків. В результаті кожного дії отримуємо матрицю системи, еквівалентної вихідної, тому між матрицями будемо ставити знак равносильности:

Засадничими невідомими останньої системи можна вибрати перше і третє, друге буде вільним. Тоді загальне рішення набуде вигляду:. Якщо покласти. то отримуємо безліч всіх власних векторів з власним значенням. . або. де. .

Метод виключення невідомих для вирішення системи в даному випадку хороший тим, що дозволяє швидко виявити помилку в разі неправильного знаходження власного значення: якщо знайдено невірно, то і система буде мати єдине тривіальне рішення. Якщо ж ви впевнені в правильності своїх обчислень, то в разі одноразових власних значень вирішувати систему, звичайно ж, зручніше на підставі зауваження 1. У цьому випадку. так як трьом він не може рівнятися в силу вибору (визначник дорівнює нулю), а одиниці - через те, що немає пропорційних рядків. Тому. значить, всі власні вектори з цим власним значенням колінеарні між собою. Якщо ми знайдемо один з них, то для отримання всіх інших залишиться помножити його на довільне ненульове число.

Розділимо останній рядок матриці (15.14) на чотири з метою зменшення чисел, що не змінить рішення системи, і знайдемо одне з рішень, використовуючи алгебраїчні доповнення до елементів першого рядка:

в) Вступаємо, як і в попередньому випадку (алгебраїчні доповнення знову до першого рядка):

Приклад. 15.31. Знайти власні вектори лінійного оператора. який в деякому базисі дійсного лінійного простору V3 має матрицю

# 8710; Знаходимо характеристичний поліном А:

Цей многочлен має наступні коріння: кратності два і. Обидва вони дійсні, тому обидва є власними значеннями. Для кожного з власних значень знаходимо власні вектори, вирішуючи однорідну систему з матрицею:

Ранг матриці дорівнює двом,. Один з власних векторів можна знайти, використовуючи алгебраїчні доповнення, наприклад, до елементів першого рядка:. . . .

Ранг матриці знову дорівнює двом,. Один з власних векторів можна знайти, використовуючи алгебраїчні доповнення, наприклад, до елементів першого рядка:. . . . ▲

Приклад. 15.32. Знайти власні вектори лінійного оператора. який в деякому базисі дійсного лінійного простору V3 має матрицю

# 8710; Характеристичний многочлен:

Цей многочлен має коріння кратності 2 і. які будуть і власними значеннями. Знаходимо власні вектори:

Метод алгебраїчних доповнень в даному випадку не дає бажаного результату: упорядкований набір з алгебраїчних доповнень до елементів кожного рядка буде тривіальним, тому що всі вони пропорційні. Вирішуємо систему звичайним чином: з єдиного її незалежного рівняння отримуємо. Вважаючи. отримуємо. . де,. .

Приклад. 15.33. Знайти власні вектори лінійного оператора. який в деякому базисі комплексного лінійного простору V3 має матрицю

# 8710; Складаємо характеристичне поліном:

Характеристичне рівняння оператора має вигляд

характеристичними числами будуть. Так як лінійний оператор діє в комплексному просторі, то все його характеристичні числа є і власними значеннями. Знайдемо власні вектори.

Однорідна система з такою матрицею вирішується усно:. Власні вектори з цим власним значенням виглядають так:. . .

Так як всі власні значення одноразово, то і все власні підпростору одномірні, тому для кожного з них досить знайти по одному власному вектору, що можна зробити за допомогою алгебраїчних доповнень. Виберемо, наприклад, алгебраїчні доповнення до елементів першого рядка матриці:. . .

Ми отримали матрицю, комплексно сполучену попередньої. Значить, і рішення систем з цими матрицями - теж комплексно зв'язані, і тому ▲

Приклад. 15.34. У просторі многочленів ступеня не вище двох заданий лінійний оператор. Знайти власні функції (власні вектори) оператора і відповідні їм власні значення.

(При обчисленні інтегралів використовувалися наступні їх властивості: інтеграл від непарної функції по симетричному проміжку дорівнює нулю; інтеграл від парної функції по симетричному проміжку дорівнює подвоєному інтегралу від тієї ж функції по правій половині проміжку). Якщо - власна функція, то для деякого. тобто,

Рівність (15.16) слід розглядати як рівність функцій, значить, воно справедливо при будь-якому. Це можливо в тому і тільки в тому випадку, коли коефіцієнти при відповідних ступенях змінної збігаються. Отримуємо систему рівнянь

Можливі два випадки:

а). Тоді. . значить,. Однією з таких функцій буде. а всі інші їй пропорційні.

б). Тоді Якщо. то і. і навпаки. В цьому випадку . що суперечить визначенню власного вектора. Якщо ж . то, розділивши перше рівняння на друге, знаходимо. тобто . При отримуємо. ; при маємо. (Всі інші їй пропорційні).

2-й спосіб. Запишемо матрицю лінійного оператора в базисі (див. Приклад 15.11):

(Всі інші власні функції їй пропорційні);

(Всі інші їй пропорційні);

(Всі інші їй пропорційні). ▲