Виробнича функція Кобба-Дугласа і її властивості

Виробнича функція - це статистично значуща зв'язок між сукупним випуском (доходом) та обсягами використовуваних ресурсів.

Модель виробничої функції.

Дуже важливо, щоб виробнича функція об'єктивно відображала моделируемую дійсність, тобто щоб вона задовольняла змістовно-логічним і економічним вимогам. Основні з них такі:

в число аргументів виробничої функції повинні бути включені всі істотні для даного процесу фактори;
всі величини повинні мати чіткий економічний зміст;
всі економічні величини, що входять у виробничу функцію, повинні бути вимірні;
випуск продукції без витрат неможливий;
якщо величина будь-якого ресурсу обмежена, то випуск не може рости нескінченно;
збільшення витрат не може привести до зменшення випуску.

Зазвичай передбачається наявність наступних властивостей ПФ:

1) випуск зростає при зростанні витрат кожного фактора

2) Гранична продуктивність кожного фактора зменшується:

3) якщо один з факторів відсутній, то випуск дорівнює нулю:

Функція Кобба-Дугласа отримана в результаті математичного преоб-разования найпростішої виробничої функції

в таку мо-дель, яка показує, якою часткою сукупного продукту винагороджені-ється бере участь в його створенні фактор виробництва. Вона має дотримуюся-щий вигляд:

де # 945 ;. # 946; змінюються в межах від 0 до 1, (в окремому випадку # 946; = 1 - # 945;).

Функція Кобба-Дугласа - модель з двома змінними факторами виробництва. Параметр А - коефіцієнт, що відображає рівень техно-логічної продуктивності і в короткостроковому періоді він не изме-вується. показники # 945; і # 946; - коефіцієнти еластичності обсягу випус-ка (Y) за фактором виробництва, т. Е. За капіталом До і праці L відпо-відно. При цьому, якщо кожен з факторів оплачується в відпо-відно зі своїм граничним продуктом, то # 945; і # 946; показують частки капі-тала і праці в сукупному доході. Іншими словами, якщо ціна капіталу дорівнює граничному продукту капіталу, а ціна праці дорівнює граничному продукту праці, то параметри а і b визначають пропорцію, в ко-торою працю і капітал отримують свою винагороду за створений про-дукт, т. Е . частку капіталу в доході aY і частку праці в доході bY. Так як # 946; = 1 - # 945 ;, то # 946; + # 945; = 1, з чого випливає, що ми маємо справу з постійною віддачею від масштабу.

Цікаво розглянути емпіричні значення параметрів функції Кобба-Дугласа; А = 1,1; # 945; = 1/4; # 946; = 3/4. Отже, частка капіталу в національному доході становить 25%, а частка тру-да - 75%.

У пошуках шляхів найбільшої ефективності виробництва нас завжди повинна цікавити гранична продуктивність беруть участь в ньому факторів, за допомогою якої визначається оптимальний обсяг викорис-вуються ресурсів. Граничний продукт капіталу МРK пропорційний від-носіння частки капіталу в доході до обсягу використаного капіталу:

Слід зі співвідношення:

Аналогічно визначається і гранична продуктивність праці:

Слід зі співвідношення:

Розглянемо властивості виробничої функції Кобба-Дугласа.

якщо # 945; + # 946; = 1-сталість віддачі від масштабу -

описується формулою F (# 955; K, # 955; L) = # 955; АК a L b

і означає, що якщо збільшити використан-ня капіталу і праці в # 955; раз, то обсяг сукупного випуску, або обсяг до-ходу, зросте в таке ж число раз.

Зауваження. Існує більш широке визначення однорідної функції:

Позначимо: Y - валовий випуск;

К - виробничі фонди (капітал); L - жива праця. F - виробнича функція, тобто .

нехай # 955; і # 947; деякі числа. F є однорідною якщо виконується співвідношення

Третя важлива властивість функції Кобба-Дугласа пов'язано ззміною граничної продуктивності факторів. Наприклад, якщо залучити у виробництво додаткову кількість капіталу К, а праця L вико-ти в колишньому обсязі, то, при інших рівних умовах, гранична продуктивність праці МРL збільшиться, а гранична продуктивність збільшеного обсягу капіталу МРK знизиться. Якщо ж збільшити кількість праці, при інших рівних умовах, то його гранична продуктивність знизиться, а гранична продуктивність капіталу зросте.

порушення пропорції між працею і капіталом при заданій технології призводить до відхилення від оптимального обсягу виробництва, т. е. до неефективності виробництва.

Однак, якщо ми збільшимо параметр А, наприклад, запровадивши більш продуктивну технологію, то отримаємо одночасне підвищення МРK і МРL, що є умовою інтенсивного економічного зростання.

Третя властивість виробничої функції Кобба-Дугласа -сталість відносини доходу від праці до доходу від капіталу (b / a), т. Е. Постійність співвідношення часток капіталу і праці в національному продукті.

Дослідження американського сенатора і економіста Пола Дугласа показали, що в Сполучених Штатах за сорок років (з 1948 по 1989 рр.) Співвідношення b / а коливалося в межах між 2 і 9, в результаті чого оплата праці в 2-3 рази перевищувала винагороду капіталу. Можна предпол-жити, що постійні рамки коливання співвідношення (b / а) задані техноло-гически. Коливання b / a всередині цих рамок можуть бути пояснені откло-ням в співвідношенні I і S, так як навряд чи заробітна плата, шкала на-логообложенія і норми амортизації майже щорічно могли зазнавати значних змін.

Важливе узагальнення для багатофакторного виробництва функція Кобба-Дугласа має вигляд

При цьому сума коефіцієнтів () характеризує узагальнену еластичність виробництва.

Побудова виробничої функції Кобба-Дугласа для оцінки національного доходу США.

Виробнича функція Кобба-Дугласа:

Y = AK # 945; L # 946; ,

показує залежність реального обсягу випуску Y від капітальних витрат K і витрат праці L. Для знаходження коефіцієнтів функції Кобба-Дугласа # 945; і # 946; прологарифмируем обидві частини рівності:

ln Y = ln (AK # 945; L # 946; ),

ln Y = ln A + # 945; ln K + # 946; ln L.

Отримаємо множинну лінійну регресію y = c + ak + bl. Коефіцієнти a, b, c цієї регресії можна знайти, вирішивши систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими, як було написано вище.

Економічна інтерпретація коефіцієнтів а і b функції Кобба- Дугласа Y = AK # 945; L # 946 ;. при збільшенні капіталовкладень на 1% від свого середнього значення реальний обсяг випуску збільшиться на # 945; % Від свого середнього значення, а при збільшенні витрат праці на 1% від свого середнього значення реальний обсяг випуску збільшиться на # 946; % Від свого середнього значення.

Приклад. Побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа для оцінки національного доходу США за наступними даними: Y -

національний дохід США, млрд. дол. K - капіталовкладення, млрд. дол.,

L - загальне число зайнятих в економіці, тис. Чол.