Відстань між перехресними прямими

Відстань між перехресними прямими це довжина загального перпендикуляра, проведеного до цих прямим.

На рис. 69 ми бачимо перехресні прямі a і b. Для наочності проведені паралельні площині і. в яких лежать ці прямі. Відстань d між прямими a і b є довжина їх спільного перпендикуляра MN.

Мал. 69. Відстань між перехресними прямими

Зауважимо, що величина d є також відстань від будь-якої точки прямої a до площині (і взагалі від будь-якої точки площини до площини). Тому якщо в конкретному завданні загальний перпендикуляр до двох перехресних прямих не проглядається, то можна шукати відстань від будь-якої зручної точки першої прямої до площини, що проходить через другу пряму паралельно першої прямої це і буде відстань між двома даними прямими.

12.1 Приклади розв'язання задач

Розглянемо три завдання. Перші дві порівняно прості, а третя відповідає рівню завдання С2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть відстань між перехресними ребрами правильного тетраедра, довжина ребра якого дорівнює 1.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр з ребром 1. Знайдемо відстань між прямими AD і BC. Нехай M середина AD, N середина BC (рис. 70).

Мал. 71. До задачі 2

Отже, відстань між прямими BC 1 і AB 1 дорівнює відстані від будь-якої точки прямої BC 1 до площини AB 1 D 1. Зручно взяти, наприклад, точку B.

Відстань від точки B до площини AB 1 D 1 дорівнює відстані від точки A 1 до даної площини (оскільки відрізок A 1 B ділиться цією площиною навпіл). А відстань від A 1 до площини AB 1 D 1 є висота A 1 H трикутної піраміди AB 1 D 1 A 1.

p Підставою даної піраміди служить рівносторонній трикутник AB 1 D 1 зі стороною 3 2. Бічні ребра цієї піраміди рівні 3. Стало бути, піраміда є правильною, і точка H центр трикутника AB 1 D 1.

Довжина відрізка AH дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника AB 1 D 1:

AH = 3 p 2 = p 6: 3

Тоді по теоремі Піфагора отримуємо:

A 1 H = AA 2 1 AH 2 = 3:

Це і є шукане відстань між прямими AB 1 і BC 1. p

Завдання 3. У правильній чотирикутної піраміді SABCD (з вершиною S) довжина кожного ребра дорівнює 4. Точка K середина ребра SA. Знайдіть відстань між прямими AD і BK.

Рішення. На рис. 72 зображено перетин піраміди площиною KBC; це перетин є рівнобедреної трапецією BKLC.