Відмінності алгебри від арифметики

Алгебра, так само як і арифметика, займається знаходженням рішень різних питань, що відносяться до чисел. Але між цими двома науками є істотна різниця:

Алгебра має справу не з числами, а з буквами, які можуть позначати будь-які числа.
У арифметиці ми намагаємося знайти рішення тільки одного даного питання з відомими певними числами. В алгебрі - знайти спільне рішення всіх питань одного роду, які б цифри не були дані.

Щоб з'ясувати, що таке спільне рішення чисельного питання, вирішимо завдання:

Два мандрівника в один і той же час виходять назустріч один одному з двох міст, що знаходяться на відстані 240 кілометрів. Перший проходить в день 25 кілометрів, другий 35 кілометрів. Через скільки днів після свого відправлення вони зустрінуться?

Кожен день вони наближаються одна до одної на 25 + 35 = 60 кілометром; отже вони пройдуть весь розділяє їх шлях і зустрінуться через 240. 60 = 4 дня.

Припустимо тепер, що потрібно вирішити ту ж задачу, але не над трьома даними числами 240, 25 і 25 кілометрів, а над якими завгодно числами. Це часто робиться для того, щоб вирішення питання мало більш загальне значення, тобто годилося б для всіх однакового роду завдань, які б цілі або дробові числа були дано. В такому випадку ми вже не можемо позначати дані величини цифрами, мають одне відоме числове значення, а повинні користуватися якимись іншими знаками, під якими можна було б мати на увазі будь-які числа. За такі знаки беруть букви латинського алфавіту.

Назвемо тому число кілометрів між двома містами буквою a. кількість кілометрів, прохідних в день першим мандрівником, буквою b. а другим c.

Вирішуючи задачу в цьому загальному вигляді, знайдемо, що обидва мандрівника кожен день наближаються одна до одної на b + c кілометрів і, отже, зустрінуться через стільки днів, скільки разів сума b + c кілометрів полягає в кілометрах розділяє їх шляху, тобто через днів . Отриманий вираз являє спільне рішення даного питання. Підставивши замість цифр та провівши дії, знайдемо колишній відповідь:.

Літерне або спільне рішення має наступні переваги перед числовим або приватним рішенням:

Воно придатне не для однієї запропонованого завдання, а для всіх однотипних завдань, які б числа в них не було дано. Наприклад, якщо замість 240, 25 і 35 дано числа 360, 20 і 40, то, підставивши їх в отримане вираз замість a. b. і c. знайдемо, що шукане число днів одно і так далі.
З буквених виразів ясно видно, що насамперед у якому порядку треба зробити над даними величинами для отримання шуканого відповіді.
Легко помітити, що при вирішенні питань, подібних даному, має істотне значення не «іменування" предметів або понять, даних у завданні, але кількісна їх величина, а тому прямо переходимо до того, що наше завдання можна узагальнити.

Наприклад, два предмета одночасно починають рухатися з двох місць, що знаходяться на відстані a одиниць довжини (все одно яких: метри, кілометри, фути і т.д.). Перший предмет проходить в кожну одиницю часу (добу, годину, секунду) b. а другий c таких одиниць довжини. Через скільки одиниць часу вони зустрінуться? Рішення, очевидно, буде видно того: через одиниць часу.

Ця запис називається загальною формулою, вона дає нам можливість будь-яку нову задачу з подібними умовами вирішити без повторення міркувань - одним обчисленням.

Отже, алгебра має на меті знаходити спільні рішення питань, що відносяться до чисел, а також узагальнювати ці питання.

Крім того, алгебра займається тим, щоб ці спільні рішення представляти в найбільш простому і ясному вигляді, також вона вчить, як перетворювати одне буквене вираз в інше, тотожне з ним, тобто в таке, яке залишається рівним першому при яких завгодно числах.