Обчислення нормальних векторів для площин - студопедія

Нормальні вектори - це не ті вектори, у яких все в порядку, чи які відчувають себе добре. За визначенням, нормальний вектор (нормаль) до площини - це вектор, перпендикулярний цій площині.

Іншими словами, нормаль - це вектор, перпендикулярний будь-якому вектору в даній площині. Напевно ви зустрічали таке визначення - правда, замість векторів йшлося про прямих. Однак трохи вище було показано, що в завданні C2 можна оперувати будь-яким зручним об'єктом - хоч прямої, хоч вектором.

Ще раз нагадаю, що будь-яка площина задається в просторі рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C і D - деякі коефіцієнти. Не применшуючи спільності рішення, можна вважати D = 1, якщо площину не проходить через початок координат, або D = 0, якщо все-таки проходить. У будь-якому випадку, координати нормального вектора до цієї площини рівні n = (A; B; C).

Отже, площина теж можна успішно замінити вектором - тієї самої нормаллю. Будь-яка площина задається в просторі трьома крапками. Як знайти рівняння площини (а отже - і нормалі), ми вже обговорювали в самому початку статті. Однак цей процес у багатьох викликає проблеми, тому наведу ще парочку прикладів:

· Завдання. У кубі ABCDA1 B1 C1 D1 проведено розтин A1 BC1. Знайти нормальний вектор для площині цього перерізу, якщо початок координат знаходиться в точці A, а осі x, y і z збігаються з ребрами AB, AD і AA1 відповідно.

Рішення . Оскільки площину не проходить через початок координат, її рівняння виглядає так: Ax + By + Cz + 1 = 0, тобто коефіцієнт D = 1. Оскільки ця площина проходить через точки A1. B і C1. то координати цих точок звертають рівняння площини в правильну числову рівність.

Підставами замість x, y і z координати точки A1 = (0; 0; 1). маємо:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Аналогічно, для точок B = (1, 0, 0) і C1 = (1; 1; 1) отримаємо рівняння:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Але коефіцієнти A = - 1 і C = - 1 нам уже відомі, тому залишається знайти коефіцієнт B:
B = - 1 - A - B = - 1 + 1 + 1 = 1.

Отримуємо рівняння площині: - A + B - C + 1 = 0, Отже, координати нормального вектора рівні n = (- 1; 1; - 1).

· Завдання. У кубі ABCDA1 B1 C1 D1 проведено розтин AA1 C1 C. Знайти нормальний вектор для площині цього перерізу, якщо початок координат знаходиться в точці A, а осі x, y і z збігаються з ребрами AB, AD і AA1 відповідно.

Рішення . В даному випадку площина проходить через початок координат, тому коефіцієнт D = 0, а рівняння площині виглядає так: Ax + By + Cz = 0. Оскільки площина проходить через точки A1 і C, координати цих точок звертають рівняння площини в правильну числову рівність.

Підставами замість x, y і z координати точки A1 = (0; 0; 1). маємо:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогічно, для точки C = (1; 1; 0) отримаємо рівняння:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Покладемо B = 1. Тоді A = - B = - 1, і рівняння всій площині має вигляд: - A + B = 0, Отже, координати нормального вектора рівні n = (- 1; 1; 0).

Взагалі кажучи, в наведених задачах треба складати систему рівнянь і вирішувати її. Вийде три рівняння і три змінних, але в другому випадку одна з них буде вільною, тобто приймати довільні значення. Саме тому ми маємо право покласти B = 1 - без шкоди для спільності рішення і правильності відповіді.