Вертикальні дотичні до графіка функції - студопедія

Те будемо говорити, що в точці графік функції має вертикальну дотичну,

задається рівнянням (рис.1б)

Приклад 1. 1. Нехай на графіку функції задані дві точки. Знайдемо рівняння:

1) посічених прямий проходить через точки

2) Рівняння дотичних прямих до графіка проведених

Рішення. 1) Визначаємо кутовий коефіцієнт січної прямої, що проходить через точки

. Виписуємо рівняння січної або. Щоб написати рівняння дотичної потрібно знайти її кутовий коефіцієнт. Згідно з визначенням 1.3 кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної даної функції в точці дотику: і. Підставляючи дані в формулу (1.3), виписуємо рівняння дотичних

;

За допомогою дотичних визначають кути між графіками функцій в точці їх перетину.

Визначення 1.4. Кутом між графіками функцій в точці їх перетину називається кут між їх дотичними прямими в цій точці рис. 2. Цей кут знаходимо за формулою

За формулою (1.4) визначається гострий кут між

рис.2. дотичними прямими.

Зауваження. Визначення похідної зручніше записувати і використовувати за допомогою збільшень.

Визначення 1.5. Приростом аргументу називають різницю і позначають через. Різниця = називають приростом функції.

Таким чином, визначення похідною можна переписати так

Зауваження. Похідні можна записувати наступними символами

Приклад 1.2. Користуючись визначенням (1.5), знайдіть похідні функцій в точці.

Рішення. Використовуючи означення похідної (4.5), обчислюємо приріст функції в точці. Тоді.

Користуючись визначенням (1.5), знайдемо похідну функції.

За визначенням маємо

Фізичний зміст похідної. Нехай шлях, пройдений точкою, що рухається вздовж прямої, змінюється з часом за законом. тоді середня швидкість за період часу визначається як;

Миттєва швидкість в момент часу є (за визначенням) граничне значення середньої швидкості;