Трохи про делителях нуля і про поділ на нуль

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 + 1 2 3 0
2 + 2 3 0 1
3 3 0 1 2

* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 + 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

* 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Ії. Бінго! Що ми бачимо в таблиці множення для n = 4? 2 * 2mod4 = 0. Тобто твір двох ненульових елементів дало 0! Як же таке можливо?
Вся суть, насправді, в тому, що число 4 - складене. Справді, для будь-якого n рівність x mod n = 0 означає, що n є дільник x. Для кілець відрахувань над простими числами таке неможливо, адже якщо n - просте, то числа 2. (n-1) не є його дільниками, а значить і їх твір теж не буде дільником. Якщо ж n = a * b (природно a менше n і b менше n), то як раз твір цих чисел (що належать нашій кільцю) дає n mod n = 0.
«Але чому мені про це не розповідали в школі ?! », - обуриться Новомосковсктель. Тому що в школі ми вивчали алгебри над полями. І в курсі матаналізу практично відразу вводиться поняття поля дійсних чисел (як дедекндових перетинів, наприклад). А в полі, згідно з його аксіом, подільників нуля немає! Більш того, якщо у кільця немає дільників нуля (тоді його називають областю цілісності), і якщо кільце кінцеве, то воно теж задає поле! Тобто наше кільце відрахувань по модулю 5, 3, 2, 7, 13, і взагалі будь-якого простого числа є поле. Власне, ці поля і використовуються при кодуванні даних.
Досвідчений Новомосковсктель напевно вже помітив, що я трохи відхилився від теми. У самому першому реченні було про розподіл на нуль, а тепер ми вже говоримо про якісь делителях нуля. Не добре.
Отже, що є результат ділення b / 0 = c. Це є рішення рівняння b = 0 * c. Взагалі кажучи, в будь-якому кільці результатом множення на нуль якогось числа буде нуль. Але, згадаємо що 0 = a * b. b = a * b * c -> c = a ^ (- 1) Здавалося б, ось воно, рішення проблеми: знайдено число, яке можна вважати результатом поділу на нуль! Але немає! Давайте звернемося до таблиці множення для n = 4, і відшукаємо по ній елемент, зворотний двійці. Його там немає! Незважаючи на те, що ми знайшли для наших полів позитивні числа, що дають в творі

15 плюсів 16 мінусів