Тетяна мельничук, прості числа

Прості числа

Просте число - це натуральне (ціле позитивне) число, яке ділиться без залишку тільки на два натуральних числа: на і на саме себе. Іншими словами, просте число має рівно два натуральних дільники: і саме число.

В силу визначення, множина всіх дільників простого числа є двоелементною, тобто є безліч.

Безліч всіх простих чисел позначають символом. Таким чином, в силу визначення безлічі простих чисел, ми можемо записати:.

Послідовність простих чисел виглядає так:

Основна теорема арифметики

Основна теорема арифметики стверджує, що кожне натуральне число, більше одиниці, представимо у вигляді добутку простих чисел, причому єдиним способом з точністю до порядку проходження сомножителей. Таким чином, прості числа є елементарними «будівельними блоками» безлічі натуральних чисел.

Розкладання натурального числа на витвір простих чисел називають канонічним:

де - просте число, і. Наприклад, канонічний розклад натурального числа виглядає так:.

Подання натурального числа у вигляді добутку простих також називають факторизації числа.

Властивості простих чисел

• Будь-яке натуральне число або ділиться на просте число, або взаємно просто з ним (тобто НСД).
• Твір натуральних чисел ділиться на просте число тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них ділиться на це просте число.
• Простих чисел нескінченно багато (не існує найбільшого простого числа).
• Якщо натуральне число не ділиться ні на одне просте число, квадрат якого не перевищує це натуральне число, то воно саме є простим.
• Якщо - просте число, а - натуральне, то ділиться на (мала теорема Ферма).
• Якщо - натуральне число, то існує таке просте число, що (постулат Бертрана).
• Будь-яке просте число представимо у вигляді.
• Якщо - просте число, то кратно.

решето Ератосфена

Для знаходження всіх простих чисел, менших заданого числа, дотримуючись методу Ератосфена, потрібно виконати наступні кроки:

Крок 1. Виписати підряд всі натуральні числа від двох до, тобто .
Крок 2. Присвоїти змінної значення, тобто значення рівне найменшому простому числу.
Крок 3. Викреслити в списку все числа від до кратні, тобто числа:.
Крок 4. знайти перше незачёркнутое число у списку, більше, і привласнити змінної значення цього числа.
Крок 5. Повторити кроки 3 і 4 до досягнення числа.

Процес застосування алгоритму буде виглядати наступним чином:

Всі залишилися незачёркнутие числа в списку по завершенні процесу застосування алгоритму будуть являти собою безліч простих чисел від до.

гіпотеза Гольдбаха

Обкладинка книги «Дядечко Петрос і гіпотеза Гольдбаха»

Незважаючи на те, що прості числа вивчаються математиками досить давно, на сьогоднішній день залишаються невирішеними багато подій, пов'язаних з ними проблеми. Однією з найбільш відомих невирішених проблем є гіпотеза Гольдбаха. яка формулюється наступним чином:

• Чи вірно, що кожне парне число, більше двох, може бути представлено у вигляді суми двох простих чисел (бінарна гіпотеза Гольдбаха)?
• Чи вірно, що кожне непарне число, більше 5, може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел (тернарного гіпотеза Гольдбаха)?

Слід сказати, що тернарного гіпотеза Гольдбаха є окремим випадком бінарної гіпотези Гольдбаха, або, як кажуть математики, тернарного гіпотеза Гольдбаха є слабшою, ніж бінарна гіпотеза Гольдбаха.

Книга «Прості числа. Довга дорога до нескінченності »

Обкладинка книги «Світ математики. Прості числа. Довга дорога до нескінченності »

Додатково рекомендую прочитати захоплюючу науково-популярну книгу «Світ математики. Прості числа. Довга дорога до нескінченності ». в анотації до якої сказано: «Пошук простих чисел - одна з найбільш парадоксальних проблем математики. Вчені намагалися розв'язати цю проблему протягом кількох тисячоліть, але, обростаючи новими версіями і гіпотезами, ця загадка, як і раніше залишається нерозгаданою. Поява простих чисел не підпорядковане будь-якій системі: вони виникають в ряду натуральних чисел спонтанно, ігноруючи всі спроби математиків виявити закономірності в їх послідовності. Ця книга дозволить Новомосковсктелю простежити еволюцію наукових уявлень з найдавніших часів до наших днів і познайомить з самими цікавими теоріями пошуку простих чисел ».

Додатково процитую початок другого розділу цієї книги: «Прості числа являють собою одну з важливих тем, які повертають нас до самих витоків математики, а потім шляхом зростаючої складності призводять на передній край сучасної науки. Таким чином, було б дуже корисно простежити захоплюючу і складну історію теорії простих чисел: як саме вона розвивалася, як саме були зібрані факти і істини, які в даний час вважаються загальноприйнятими. У цьому розділі ми побачимо, як цілі покоління математиків ретельно вивчали натуральні числа в пошуках правила, пророкує появу простих чисел, - правила, яке в процесі пошуку ставало все більш і більш вислизає. Ми також докладно розглянемо історичний контекст: в яких умовах математики працювали і якою мірою в їх роботі застосовувалися містичні і напіврелігійні практики, які зовсім не схожі на наукові методи, використовувані в наш час. Проте повільно і з трудом, але був підготовлений грунт для нових поглядів, що надихали Ферма і Ейлера в XVII і XVIII ст »

• Поділитися
• Твитнуть
• Поділитися