Тести і теорія ймовірностей, математика, яка мені подобається

Останнім часом в Інтернеті поширилася така ось задачка

Питання перекладається наступним чином:

Якщо вибрати одну з відповідей навмання, наскільки ймовірним є те, що він буде правильним?

Хто з вас ніколи не проходив тест з декількома варіантами відповідей? І ще, хто з вас не використовував метод "наукового тику", тобто не вибирав відповідь випадковим чином при проходженні цих тестів? Напевно, майже в будь-якій справі ви відповідали на такі питання, укладачі яких намагалися виключити випадковість, для чого, як правило, помилкові відповіді каралися більше в порівнянні з питаннями, що залишилися без відповіді (очок за відсутність відповіді, і за невірну відповідь, наприклад).

Але звичайно, коли математики складають тести, які передбачають покарання за неправильні відповіді, щоб уникнути випадковості, це вважається непристойним і негарним. Потрібно придумати щось краще, і тоді з'являється ідея ...

Це питання було названо "парадоксом математики" або навіть "найкращим питанням в історії по терии ймовірності". Я б не сказав так, але правда полягає в тому, що це питання дійсно цікавий. Далі ми його обговоримо і спробуємо відповісти на нього так, щоб задовольнити всіх.

По-перше, коли ми говоримо про ймовірність, а не щось інше, потрібно використовувати інтуїцію. І тут інтуїція збігається з правилом Лапласа, яке названо по імені французького математика П'єра Симона Лапласа (див. Тут):

де - число випадків, що сприяють події, - загальне число випадків.

Перш ніж відповісти на це питання розглянемо більш простий випадок. Припустимо, потрібно відповісти на питання:

"Яка ймовірність того, що при підкиданні монети випаде решка?"

і у нас є можливі відповіді:

(А) 25% (б) 50% (в) 75% (р) 100%.

Яка ймовірність вгадати правильну відповідь? Це просто. Правильна відповідь, очевидно, (б), отже, є один успішний результат з чотирьох можливих. Значить, шукана ймовірність дорівнює 25%. Це не є відповіддю на питання про монету, це відповідь на друге питання, про ймовірність вибору правильної відповіді, якщо ми вибираємо відповідь випадково. Це дві різні ймовірності, більш того, різні події.

Кілька усложним ситуацію. Питання залишимо тим же:

"Яка ймовірність того, що при підкиданні монети випаде решка?"

А відповіді змінимо:

а) 10% б) 20% в) 30% г) 40%.

У цих нових умовах наскільки ймовірним є вибрати правильну відповідь, якщо ми вибираємо відповідь випадково? Лаплас, допоможи нам. Тепер у нас є, знову ж таки, чотири можливих випадки (4 варіанти відповіді), але сприятливих серед них немає ... Так що Лаплас говорить, що ймовірність успіху становить 0%. Ну, скажімо, наш учитель, який становив тест, - редиска. Як і раніше, у нас є 2 різних події. І ймовірність того, що випаде Прилуки, дорівнює 1/2, або 50%, в той час як ймовірність іншого події, випадкового вибору правильної відповіді, становить в цьому випадку 0%.

А як же питання на мільйон доларів, який ми бачимо на малюнку? Що ж, він складніше, так як питання тесту і друге питання, яке ми задаємо собі (в наведених вище випадках ці питання не залежать один від одного) тісно пов'язані між собою. Перший відноситься до другого, а воторой - до першого, вони взаємозалежні. О, Боже, померти і не встати! Ну добре, давайте подивимося, чи зможе нам допомогти Лаплас. Для цього нам необхідно знати правильну відповідь, так що давайте йти крок за кроком, і ми будемо користуватися старим трюком відомості до абсурду (тобто ми починаємо з деякого припущення. Робимо логічні висновки, і якщо ми приходимо до протиріччя, то припущення повинно бути помилковим ).

Припустимо, що правильну відповідь (а) 25%. Це означає, що ймовірність вгадування правильної відповіді становить 25%. Але оскільки варіант (г) збігається з (а), то маємо 2 сприятливих варіанту з чотирьох можливих, так що Лаплас говорить (і не помиляється), що ймовірність вгадування правильної відповіді буде 50%. Але хіба не 25%? Ось ми і прийшли до протиріччя: якщо припустити, що ймовірність становить 25%, то вона повинна бути дорівнює 50%. Таким чином, наше вихідне припущення помилково. Значить, (а) не може бути правильною відповіддю.

Припустимо, що правильну відповідь (б) 50%. Це означає, що ймовірність вгадати правильну відповідь дорівнює 50% (це має сенс, тому що раніше у нас вже виходило таке значення). Але в даному випадку Лаплас говорить, що є тільки 4 можливих сприятливих результату, і ймовірність вгадування буде 25%. Знову ми приходимо до протиріччя, і (б) не може бути правильною відповіддю.

Припустимо, що правильну відповідь (с) 60%. Це, мабуть, найпростіший з усіх варіантів. Це означає, що ймовірність вгадати правильну відповідь дорівнює 60% (це вже здається досить дивним, чи не так? Але давайте розглянемо і цей випадок). Тоді, як і в попередньому випадку, немає жодного успішного результату з 4 можливих, тоді ймовірності складають 25% і 60%. Значить, варіант (с) теж не підходить.

Припустимо, що правильну відповідь (г) 25%. Ну, якщо ви подивитеся, цей варіант ідентичний першому і призводить до протиріччя, так що (г) ми теж виключаємо.

Давайте подивимося, що я пропустив. Ми виключили всі можливості, які можуть бути?

Так, як і в другому прикладі з монетою, всі відповіді неправильні. Так чому дорівнює ймовірність вгадати правильну відповідь, якщо ми виберемо випадковий відповідь? Ну, що б ми не вибрали, це буде невірно, тому 0 варіантів з 4 можливих сприятливих, і Лаплас говорить, що відповідь 0%.

Що відбувається насправді? Ну, якщо у нас була можливість вибрати кілька варіантів відповідей, то це був би парадокс в стилі відомого парадоксу цирульника Бертрана Рассела, парадоксу брехуна або кілька менш відомого парадоксу Дон-Кіхота.

Останній з'являється в главі LI другій частині Дон-Кіхота. У ній Санчо є губернатором острова Баратарія, і повинен вирішувати спори між своїми підданими. Незабаром йому представляють наступну дилему. На річці міст, що з'єднує два береги, причому діє наступний закон: "Тому, хто переходить через міст, повинні задати питання про його наміри. Розповівши правду, він може пройти, якщо ж він збрехав, то він буде повішений ". Суддя повинен визначити долю тих, хто проходить по мосту. Але в один прекрасний день хлопець, який проходить через міст, на питання про свої наміри сказав, що прийшов, щоб його повісили на шибениці, і тільки. У цих умовах суддя йде до Санчо, щоб вирішити, що робити.

Очевидно, що це яскравий приклад кругового парадоксу міркування: якби його повісили, він сказав би правду, і йому повинні були б дозволити пройти, але якби його відпустили, то він би збрехав і повинен був бути повішений.

Щось подібне відбувається з нашим питанням. Якщо припустити, що логічно, на перший погляд, що відповідь 25%, оскільки дві відповіді однакові, то ймовірність становити 50%, але відповідь 50% тільки один, і ймовірність його вибору дорівнює 25%, і ми будемо починати спочатку. Кругова аргументація.

Давайте тепер все ускладнити ще більше, і поставимо ще одне питання питання. Той, який я назвав би найкращим питанням з теорії ймовірності всіх часів і народів (в дійсності, його вже теж задавали).

Ви бачите різницю? Зараз ми змінили відповідь (с): було 60%, стало 0%.

Таке ж міркування, як вище, у випадках 1, 2 і 4 виключає відповіді (а), (б) і (г). Припустимо, що пошук правильної відповіді (с), тобто ймовірність успіху становить 0%. Потім Лаплас б сказав, що 1 з 4 можливих результатів сприятливий, тобто правильною відповіддю буде 25%, і (с) - теж неправильна відповідь.

Як ви думаєте, що станеться в цьому випадку? На цей раз тут не буде рішення: ми залишаємо можливість вирішити цю задачу вам, щоб ви могли над нею подумати і поділитися вашим враженнями.

Але ми можемо також подумати про те, що буде при інших варіантах відповідей, наприклад, в наступному випадку:

Що відбувається в цьому випадку? Яку відповідь правильний? Якщо ви не задоволені тим, що рассказаносегодня, ви також можете зацікавитися іншими парадоксами, або будь-якими з тих речей, які любив Гедель ...