Тема відносини, контент-платформа

Мета: Дати поняття відносини між елементами одного безлічі. Показати способи завдання відносини між елементами одного безлічі, розглянути властивості відносин.

Поняття відносини. Способи завдання відносин. Властивості відносин. Ставлення еквівалентності. Ставлення порядку.

1.Поняття відносини

На малюнку 1 зображені сестри Анна Іванівна і Віра Іванівна з синами Петром та Юрою. Між цими людьми існують різні родинні стосунки. Розглянемо деякі з них.

а) Петя - син Ганни Іванівни. У цьому ж відношенні «бути сином» знаходиться Юра з Вірою Іванівною. Відносно «бути сином» не перебувають Віра Іванівна і Анна Іванівна.

Рис.1 випишемо всі пари елементів, що знаходяться в відношенні «бути сином». Таких пар дві: (Петя; Анна Іванівна) і (Юра; Віра Іванівна).

Ці пари можна уявити за допомогою особливого креслення, що складається з точок, з'єднаних стрілками. Такі креслення називаються графами. Такий граф називають графом відносини «бути сином» (рис. 2).

б) Анна Іванівна - тітка Юри. У цьому ж відношенні «бути тіткою» знаходяться ще лише Віра Іванівна і Петя. Граф відносини «бути тіткою» показаний на малюнку 3.

в) У відношенні «бути сестрою або матір'ю» знаходяться елементи чотирьох пар: (А. І .; В. І), (В. І.; А. І.), (А. І .; П.), (В . І .; Ю.), граф цього відносини представлений на малюнку 4.

Мал. 2 Рис.3 Рис.4

Таким же чином можна уявити графи відносин «бути двоюрідним братом», «бути племінником» і ін.

З курсу шкільної математики відомі численні приклади відносин:

- між числами. «Дорівнює», «нерівно», «менше», «більше», «кратно», «слід за ...», «ділиться на ...» і т. Д .;

- між точками прямої. «Передує», «слід за» і т. Д .;

- між прямими. «Паралельні», «перетинаються», «перпендикулярні»;

- між площинами. «Паралельні», «перетинаються», «перпендикулярні»;

- між геометричними фігурами: «дорівнює», «подібно», та ін.

Таким чином, в математиці вивчають не тільки самі об'єкти (числа, фігури, величини), а й зв'язку між ними, т. Е. Відносини між цими об'єктами.

Найчастіше в математиці розглядають відносини між двома об'єктами, їх називають бінарними; відносини між трьома елементами - тернарного; відносини між n елементами - n-арнимі.

Наше завдання навчитися встановлювати, що спільного між відносинами, яким чином можна класифікувати таку силу-силенну найрізноманітніших відносин.

Значення цього матеріалу потрібно вчителю початкових класів і вихователя дошкільного закладу для того, щоб, вивчаючи конкретні відносини в початковій математики розуміти їх сутність, взаємозв'язку, роль в засвоєнні тих чи інших понять.

Розглянемо безліч чисел Х =. Між числами цієї множини можна встановити такі відносини як:

- «Більше»: 4> 3, 5> 3, 6> 3, 8> 3, 5> 4, 6> 4, 8> 4, 6> 5, 8> 5, 8> 6;

- «Більше на 1»: «4 більше 3 на 1», «5 більше 4 на 1», «6 більше 5 на 1»;

- «Менше в 2 рази»: «3 менше 6 в 2 рази», «4 менше 8 в 2 рази».

Отже, зв'язок між елементами одного і того ж безлічі називається відношенням між елементами цієї множини.

Звернемо увагу на наступне: розглядаючи ту чи іншу нерівність, ми кожен раз оперували впорядкованими парами. освіченими з чисел даного безлічі. Тому отримані нерівності можна записати інакше, у вигляді впорядкованих пар. Розглянемо на прикладі ставлення «більше»:

Відомо, що впорядковані пари - це елементи декартова твори множин або його підмножин. Тому про ставлення «більше» заданому на множині Х можна сказати, що воно є підмножиною множини.

Замість того щоб говорити, що ставлення визначається безліччю пар, в математиці саме це безліч пар називають, ставленням між елементами безлічі Х. Відносини позначаються прописними буквами латинського алфавіту. P, Q, R, S і ін.

Визначення. Ставленням між елементами множестваХілі ставленням на безлічі Х називається всяке підмножина декартова твори Х'Х.

Як було сказано вище, ставлення можна показати наочно за допомогою графів.

Розглянемо відношення «більше» між елементами безлічі Х =.

Для того щоб побудувати граф цього відносини треба елементи даної множини зобразити точками і з'єднати стрілками ті точки, які зображують числа, що перебувають у відношенні «більше». Оскільки 4> 2, то проводимо стрілку від 4 до 2; т. к. 6> 4, то проводимо стрілку від 6 до 4 і т. д. поки не переберемо всі пари чисел, пов'язаних заданим відношенням. В результаті отримуємо граф відношення «більше» для елементів множини Х = (рис.5). рис.5

Розглянемо тепер на цій множині відношення «кратно» і побудуємо граф.

Аналогічно попередньому випадку зобразимо елементи безлічі Х точками і з'єднаємо стрілками ті, які зображують числа, що перебувають у відношенні «кратно». 12 кратно 2, 12 кратно 4 і т. Д. Так як будь-яке число з безлічі Х кратно самому собі, то граф даного відносини матиме стрілки, початок і кінець яких співпадуть. Такі стрілки на графі називають петлями (рис.6). Мал. 6

Питання і завдання по темі:

1. Дайте поняття відносини на множині. Наведіть приклади відносин на безлічі.

паралельності рівності перпендикулярності «довші»

1. Розглянемо графи відносин паралельності і рівності. Вони мають петлі, які говорять про те, що, якою б відрізок з безлічі Х ми не взяли, про нього можна сказати, що він паралельний самому собі або що він дорівнює самому собі.

Про відносини паралельності і рівності кажуть, що вони мають властивість рефлективності або просто, що вони рефлексивно.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається рефлексивним. якщо про будь-якому елементі безлічі Х можна сказати, що він знаходиться в отношенііRс самим собою.

рефлексивно на для будь-якого

Таким чином, якщо відношення рефлексивно, то в кожній вершині графа є петля.

2. Розглянемо тепер графи відносин паралельності, перпендикулярності та рівності відрізків. Їх особливість в тому, що якщо одна стрілка, що з'єднує пару елементів, то обов'язково є і інша, що з'єднує ті ж елементи, але йде в протилежному напрямку. Ці стрілки говорять про те, що:

а). якщо перший відрізок паралельний другому відрізку, то і другий відрізок паралельний першому;

б). якщо перший відрізок перпендикулярний другого відрізку, то і другий відрізок перпендикулярний першому;

в). якщо перший відрізок дорівнює другому, то і другий відрізок дорівнює першому.

Про відносини паралельності, перпендикулярності та рівності кажуть, що вони мають властивість симетричності або, просто, симетричні.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається симетричним, якщо з того, що елемент х знаходиться в отношенііRс елементом у. випливає, що і елемент у знаходиться в отношенііRс елементом х.

Граф симетричного відносини має особливість: разом з кожної стрілкою, що йде від х до у. граф містить і стрілку, що йде від у до х.

Існують відносини, які властивістю симетричності не володіє. Таким, наприклад, є ставлення «довші» для відрізків.

3. Розглянемо граф відносини «довші». Його особливістю є, то, що якщо стрілка з'єднує дві вершини, то вона тільки одна. Про ставлення «довші» кажуть, що воно має властивість антисиметричність або, просто, антисиметрично.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається антисиметричних, якщо для різних елементів х і у з безлічі Х з того, що елемент х знаходиться в отношенііRс елементом у. випливає, що елемент у в отношенііRс елементом х чи не знаходиться.

антисиметрично на і.

Граф антисиметричного відносини має особливість: якщо дві вершини графа з'єднані стрілкою, то ця стрілка тільки одна.

4. Не слід думати, що всі відносини діляться на симетричні і антисиметричні. Зустрічаються відносини, які не володіють ні властивістю симетричності, ні властивістю антисиметричність. Звернемо увагу ще на одну особливість графів відносин паралельності, рівності і «довші» (ця особливість не відразу помітна): якщо стрілка йде від першого елемента до другого і від другого - до третього, то обов'язково є стрілка, що йде від першого елемента до третього. Ця особливість графів відображає властивість даних відносин, зване властивістю транзитивності.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається транзитивним. якщо з того, що елемент х знаходиться в отношенііRс елементом у і елемент у знаходиться в отношенііRс елементомz, слід, що елемент х знаходиться в отношенііRс елементомz.

транзитивно на і.

Граф транзитивного відносини з кожною парою стрілок, що йдуть від х до у і від у до z. містить і стрілку, що йде від х до z.

Питання і завдання по темі:

1. Сформулюйте властивість рефлективності. Наведіть приклад відносин, що володіють властивістю рефлективності.

Встановіть, якими властивостями володіють відносини, графи яких представлені на рісунке15.

Рис.15 а) Рис. 15 б) Рис. 15 в)

10. Чи володіє відношення Р на безлічі властивістю транзитивності, якщо Р =?

Розглянемо на множині дробів, ставлення: «рівності».

Побудуємо граф цього відносини (рис.16) і визначимо його властивості. Це відношення:

- рефлексивно. т. к. будь-яка дріб дорівнює сама собі; Мал. 16

- симетрично. т. к. з того, що дріб х дорівнює дробу y. випливає, що дріб y дорівнює дробу x;

- транзитивно. т. к. з того, що дріб x дорівнює дробу y і дріб y дорівнює дробу z. випливає, що дріб x дорівнює дробу z.

Таким чином, ставлення рівності дробів рефлексивно, симетрично і транзитивній. Кажуть, що таке ставлення є відношенням еквівалентності.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається відношенням еквівалентності. якщо воно одночасно має властивості рефлексивності, симетричності і транзитивності.

Чому в математиці виділили цей вид відносин? Подивимося на граф відносини рівності дробів. Бачимо, що безліч, на якому задано відношення, розбивається на кілька підмножин. Так, на графі відносини рівності дробів виділяються три підмножини:,,. Ці підмножини не перетинаються, а їх об'єднання збігається з безліччю Х. т. Е. Маємо розбиття множини Х на попарно непересічні підмножини. Це не випадково.

Теорема. Якщо на безлічі Х задано відношення еквівалентності, воно розбиває це безліч на попарно непересічні підмножини (класи еквівалентності).

Вірно і зворотне твердження: якщо якийсь стосунок, заданий на множині Х. визначило розбиття цієї множини на класи, то це ставлення є відношенням еквівалентності.

Слово «порядок» ми вживаємо часто як в повсякденному житті, так і на заняттях з математики. Ми говоримо про порядок вступу до навчального закладу, про порядок слів у реченні; на уроках математики обговорюємо порядок виконання дій, порядок запису рішення рівняння, завдання і т. д.

Що ж таке порядок? Розглянемо кілька прикладів:

1) Щоб встановити порядок в безлічі учнів класу, досить вибудувати їх по зростанню. Таким чином, на даному безлічі задається відношення «бути вище». Це ставлення антисиметрично і транзитивне.

2) Безліч класу можна впорядкувати і за віком, т. Е. Задавши відношення «бути старше». Зауважимо, що це відношення також антисиметрично і транзитивне.

3) Всім відомий порядок проходження букв в українському алфавіті. Його забезпечує відношення «слід за», що володіє властивостями антисиметричність і транзитивності.

Определеніе.ОтношеніеRна безлічі Х називається відношенням порядку. якщо воно транзитивно і антисиметрично.

Визначення. Безліч Х із заданим на ньому відношенням порядку називається впорядкованим безліччю.

Безліч Х = можна впорядкувати за допомогою відносини «менше» рис. 17а), а можна це зробити за допомогою відносини «кратності» ріс.17б). але, будучи відносинами порядку, відносини «менше» і «кратно» впорядковує безліч натуральних чисел по-різному.

Не слід думати, що всі відносини діляться на відносини еквівалентності і відносини порядку. Існує величезна кількість відносин, які не є ні відношенням порядку, ні відношенням еквівалентності.

Уже в дошкільному віці діти знайомляться з відносинами «більше» і «менше» для натуральних чисел. Потім з'являються відносини «довші» і «коротше» для відрізків і т. Д. За допомогою цих відносин встановлюється порядок в безлічі чисел і в безлічі відрізків.