Розкладання квадратного тричлена на множники за допомогою теореми Вієта, безкоштовні уроки по

Як легко розкладати квадратного тричлена на множники

Розкладання квадратного тричлена на множники може стане в нагоді при вирішенні нерівностей з завдання С3 або завдання з параметром С5. Так само багато текстові завдання B13 зважаться значно швидше, якщо ви володієте теоремою Вієта.

Цю теорему, звичайно, можна розглядати з позицій 8-го класу, в якому вона вперше проходиться. Але наше завдання - добре підготуватися до ЄДІ і навчитися вирішувати завдання іспиту максимально ефективно. Тому в цьому уроці розглянуто підхід трохи відмінний від шкільного.

Формулу коренів рівняння по теоремі Вієта знають (або хоча б бачили) багато:

$$ x_1 + x_2 = - \ frac, \ quad x_1 · x_2 = \ frac, $$

де `a, b` і` c` - коефіцієнти квадратного тричлена `ax ^ 2 + bx + c`.

Щоб навчитися легко користуватися теоремою, давайте зрозуміємо, звідки вона береться (так буде реально легше запам'ятати).

Нехай перед нами є рівняння `ax ^ 2 + bx + з = 0`. Для подальшої зручності розділимо його на `a` отримаємо` x ^ 2 + \ frac x + \ frac = 0`. Таке рівняння називається наведеним квадратним рівнянням.

Важлива думка уроку: будь-який квадратний многочлен, у якого є коріння, можна розкласти на дужки. Припустимо, що наш можна представити у вигляді `x ^ 2 + \ frac x + \ frac = (x + k) (x + l)`, де `k` і` l` - деякі константи.

Подивимося, як розкриються дужки:

$$ (x + k) (x + l) = x ^ 2 + kx + lx + kl = x ^ 2 + (k + l) x + kl. $$

Таким чином, `k + l = \ frac, kl = \ frac`.

Це трохи відрізняється від класичного трактування теореми Вієта - в ній ми шукаємо корені рівняння. Я ж пропоную шукати складові для розкладання на дужки - так не потрібно пам'ятати про мінус з формули (мається на увазі `x_1 + x_2 = - \ frac`). Досить підібрати два таких числа, сума яких дорівнює середнього коефіцієнта, а твір - вільному члену.

Якщо нам потрібно рішення саме рівняння, то воно очевидно: коріння `x = -k`ілі` x = -l` (так як в цих випадках одна з дужок занулити, значить, буде дорівнює нулю і всі вираз).

На прикладі покажу алгоритм, як розкладати квадратний многочлен на дужки.

Приклад перший. Алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

Шлях у нас є квадртаний тричлен `x ^ 2 + 5x + 4`.

Він наведений (коефіцієнт у `x ^ 2` дорівнює одиниці). Коріння у нього є. (Про всяк випадок можна прикинути дискриминант і переконатися, що він більше нуля.)

Подальші кроки (їх потрібно вивчити, виконавши всі тренувальні завдання):

1. Виконати такий запис: $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$ Замість точок залиште вільне місце, туди будемо дописувати відповідні числа і знаки.
2. Розглянути всі можливі варіанти, як можна розкласти число `4` на твір двох чисел. Отримаємо пари "кандидатів" на корені рівняння: `2, 2` і `1, 4`.
3. Прикинути, з якої пари можна отримати середній коефіцієнт. Очевидно, що це `1, 4`.
4. Записати $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x \ quad 4) (x \ quad 1) $$.
5. Наступний етап - розставити знаки перед вставленими числами.

Як зрозуміти і назавжди запам'ятати, які знаки повинні бути перед числами в дужках? Спробуйте розкрити їх (дужки). Коефіцієнт перед `x` в першого ступеня буде` (± 4 ± 1) `(поки що знаків ми не знаємо - потрібно вибрати), і він повинен дорівнювати` 5`. Очевидно, що тут будуть два плюса $$ x ^ 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1) $$.

Виконайте цю операцію кілька разів (привіт, тренувальні завдання!) І більше проблем з цим не буде ніколи.

Якщо потрібно вирішити рівняння `x ^ 2 + 5x + 4`, то тепер його рішення не складе труднощів. Його коріння: `-4, -1`.

Приклад другий. Розкладання на множники квадратного тричлена з коефіцієнтами різних знаків

Нехай нам потрібно вирішити рівняння `x ^ 2-x-2 = 0`. Навскидку дискриминант позитивний.

Йдемо за алгоритмом.

1. $$ x ^ 2-x-2 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$
2. Розкладання двійки на цілі множники є тільки одне: `2 · 1`.
3. Пропускаємо пункт - вибирати нема з чого.
4. $$ x ^ 2-x-2 = (x \ quad 2) (x \ quad 1). $$
5. Твір наших чисел негативне ( `-2` - вільний член), значить, одне з них буде негативне, а інше - позитивне.
   Оскільки їх сума дорівнює `-1` (коефіцієнт при` x`), то негативним буде `2` (інтуїтивне пояснення - двійка більше з двох чисел, воно сильніше" перетягне "в негативну сторону). Отримаємо $$ x ^ 2-x-2 = (x - 2) (x + 1). $$

Третій приклад. Розкладання квадратного тричлена на множники

Рівняння `x ^ 2 + 5x -84 = 0`.

1. $$ x + 5x-84 = (x \ ldots) (x \ ldots). $$
2. Розкладання 84 на цілі множники: `4 · 21, 6 · 14, 12 · 7, 2 · 42`.
3. Оскільки нам потрібно, щоб різниця (або сума) чисел дорівнювала 5, то нам підійде пара `7, 12`.
4. $$ x + 5x-84 = (x \ quad 12) (x \ quad 7). $$
5. $$ x + 5x-84 = (x + 12) (x - 7). $$

Сподіваюся, розкладання цього квадратного тричлена на дужки зрозуміло.

Якщо потрібне рішення рівняння, то ось воно: `12, -7`.

Завдання для тренування

Через пару років після написання статті з'явилася збірка з 150 завдань для розкладання квадратного многочлена по теоремі Вієта.