Робота сили тяжіння
На цьому уроці ми розглянемо різне рух тіла під дією сили тяжіння і навчимося знаходити роботу цієї сили. Також введемо поняття потенційної енергії тіла, дізнаємося, як пов'язана ця енергія з роботою сили тяжіння, виведемо формулу, по якій знаходиться ця енергія. За допомогою цієї формули вирішимо завдання, взяту зі збірки для підготовки до єдиного державного іспиту.
На про-шлих уро-ках ми изу-чи-чи раз-но-вид-но-сті сил в при-ро-де. Для каж-дой сили необ-хо-ді-мо пра-віль-но ви-чис-лять пра-цю-ту. Дан-ний урок по-свя-щён изу-че-ня пра-цю-ти сили тя-же-сти.
Вертикальний рух тіла під дією сили тяжіння
При невеликі-ших рас-сто-я-ні-ях від по-верх-но-сті Землі сила тя-же-сти по-сто-ян-на і по мо-ду-лю дорівнює, де m - маса тіла, g - уско-ре-ня сво-бод-но-го па-де-ня.
Нехай тіло мас-сой m сво-бод-но па-да-ет з ви-со-ти над ка-ким-ли-бо рів-нем, з ко-то-ро-го ве-дет-ся від-рахунок , до ви-со-ти над тим же рів-нем (див. Рис. 1).
Мал. 1. Сво-бод-ве па-де-ня тіла з ви-со-ти до ви-со-ти
При цьому мо-дуль пе-ре-ме-ще-ня тіла дорівнює раз-но-сті цих висот:
Так як на-прав-ле-ня пе-ре-ме-ще-ня і сили тя-же-сти сов-па-да-ють, то пра-цю-та сили тя-же-сти дорівнює:
Зна-че-ня висот в цій фор-му-ле можна від-вва-ти-вать від лю-бо-го рівня-ня (уро-вень моря, уро-вень дна ями, до то раю ви-ри -та в землі, по-верх-ність столу, по-верх-ність статі і т. д.). У будь-якому слу-чаї ви-со-ту дан-ної по-верх-но-сті ви-бі-ра-ють рав-ної нулю, по-це-му уро-вень дан-ної ви-со-ти на- зи-ва-ють ну-ле-вим рів-нем.
Якщо тіло па-да-ет з ви-со-ти h до ну-ле-по-го рівня-ня, то пра-цю-та сили тя-же-сти буде дорівнює:
Якщо тіло, бро-шен-ве вгору з ну-ле-по-го рівня-ня, до-сти-га-ет ви-со-ти hнад цим рів-ньому, то пра-цю-та сили тя-ж- сти буде дорівнює:
Рух тіла по прямолінійній траєкторії, нахиленою під деяким кутом до горизонту
Нехай тіло мас-сой m дві-жет-ся по на-клон-ної пло-ко-сти ви-со-тій h і при цьому з-вер-ша-ет пе-ре-ме-ще-ня, мо дуль ко-то-ро-го дорівнює довжині на-клон-ної пло-ко-сти (див. Рис. 2).
Мал. 2. Дві-же-ня тіла по на-клон-ної пло-ко-сти
Пра-цю-та сили дорівнює ска-ляр-но-му про-з-ве-де-нию століття-то-ра сили на століття-тор пе-ре-ме-ще-ня тіла, со-вер-шён- но-го під дей-стві третьому дан-ної сили, тобто пра-цю-та сила тя-же-сти в дан-ном слу-чаї буде дорівнює:
,
де - кут між век-то-ра-ми сили тя-же-сти і пе-ре-ме-ще-ня.
На ри-сун-ке 2 видно, що пе-ре-ме-ще-ня () пред-став-ля-ет собою ги-по-те-ну-зу пря-мо-вугілля-но-го тре-вугілля -ні-ка, а ви-со-та h - катет. З-глас-но свій-ству пря-мо-вугілля-но-го тре-вугілля-ні-ка:
Робота сили тяжіння при русі тіла по криволінійній траєкторії
Ми по-лу-чи-чи ви-ра-же-ня для пра-цю-ти сили тя-же-сти таке ж, як в слу-чаї вер-ти-каль-но-го дві-же-ня тіла . Можна зро-лать висновок: якщо тра-ек-то-рія тіла не яв-ля-ет-ся пря-мо-ли-ней-ної і тіло дві-жет-ся під дей-стві третьому сили тя-ж- сти, то пра-цю-та сили тя-же-сти визна-де-ля-ет-ся толь-ко з-ме-ні-ні-му ви-со-ти тіла над недо-то-рим ну-ле -вим рів-ньому і не за-ві-сит від тра-ек-то-рії дві-же-ня тіла.
Мал. 3. Дві-же-ня тіла по кри-по-лі-ній-ної тра-ек-то-рії
До-ка-жем попе-ду-ний утвер-жде-ня. Нехай тіло дві-жет-ся по неко-то-рій кри-по-лі-ній-ної тра-ек-то-рії (див. Рис. 3). Цю тра-ек-то-рію мис-льон-но раз-бі-ва-му на ряд малих участ-ков, каж-дий з ко-то-яких можна вва-тать ма-лень-кою на-клон-ної пло-ко-стю. Дві-же-ня тіла по всій тра-ек-то-рії можна пред-ста-вить як дві-же-ня по мно-же-ству на-клон-них пло-ко-стей. Пра-цю-та сили тя-же-сти на каж-будинок з участ-ков буде дорівнює про-з-ве-де-нию сили тя-же-сти на ви-со-ту дан-но-го участ-ка . Якщо через ме-ні-ня висот на від-дель-них участ-ках рівні, то пра-цю-ти сили тя-же-сти на них рівні:
Пол-ва пра-цю-та на всій тра-ек-то-рії дорівнює сумі робіт на від-дель-них участ-ках:
- пів-ва ви-со-та, до то рую пре-одо-ле-ло тіло,
Таким об-ра-зом, пра-цю-та сили тя-же-сти нема за ві сит від тра-ек-то-рії дві-же-ня тіла і все-гда дорівнює про-з-ве-де -нію сили тя-же-сти на раз-ність висот в ис-хід-ном і ко-неп-ном по-ло-же-ні-ях. Що й потрібно було довести.
При дви-же-ванні вниз пра-цю-та по-ло-жи-тель-на, при дви-же-ванні вгору - від-ри-ца-тель-на.
Робота сили тяжіння при русі тіла по замкнутій траєкторії
Нехай неко-то-рої тіло со-вер-ши-ло дві-же-ня по за-мкну-тій тра-ек-то-рії, тобто воно сну-ча-ла супу-сти-лось вниз, а потім по ка-кой-то дру-гой тра-ек-то-рії вер-ну-лось в ис-хід-ву точку. Так як тіло ока через-лось в тій же самій точці, в ко-то-рій воно було з-ну-чат ко-но, то раз-ність висот між на-чат ко-ним і ко-неп-ним по-ло -же-ні-му тіла дорівнює нулю, як і це-му і пра-цю-та сили тя-же-сти буде дорівнює нулю. Сле-до-ва-тель-но, пра-цю-та сили тя-же-сті при дви-же-ванні тіла по за-мкну-тій тра-ек-то-рії дорівнює нулю.
Потенційна енергія тіла
У фор-му-ле для пра-цю-ти сили тя-же-сти ви-ні-сем (-1) за скоб-ку:
З про-шлих уро-ків з-вест-но, що пра-цю-та сил, при-ло-дружин-них до тіла, дорівнює раз-но-сті між ко-неп-ним і на-чат ко-ним зна -Че-ні-му ки-ні-ти-че-ської енер-гии тіла. В по-лу-чен-ної фор-му-ле також видно зв'язок між пра-цю-тої сили тя-же-сти і раз-но-стю між зна-че-ні-я-ми неко-то-рій фі -зі-че-ської ве-ли-чи-ни, рав-ної. Така ве-ли-чи-на на-зи-ва-ет-ся по-тен-ци-аль-ної енер-ги-їй тіла. ко-то-рої на-хо-дить-ся на ви-со-ті h над недо-то-рим ну-ле-вим рів-нем.
Через ме-ні-ня по-тен-ци-аль-ної енер-гии від-ри-ца-тель-но по ве-ли-чині, якщо з-вер-ша ет ся по-ло-жи тель-ва пра-цю-та сили тя-же-сти (видно з фор-му-ли). Якщо со-вер-ша ет ся від-ри-ца-тель-ва пра-цю-та, то через ме-ні-ня по-тен-ци-аль-ної енер-гии буде по-ло- жи-тель-ним.
Якщо тіло па-да-ет з ви-со-ти h на ну-ле-виття уро-вень, то пра-цю-та сили тя-же-сти буде дорівнює зна-че-ня по-тен-ци-аль -ної енер-гии тіла, під-ня-то-го на ви-со-ту h.
За-тен-ци-аль-ва енер-гія тіла. під-ня-то-го на неко-то-рую ви-со-ту над ну-ле-вим рів-ньому, дорівнює пра-цю-ті, до то рую со-вер-шитий сила тя-ж- сті при па-де-ванні дан-но-го тіла з дан-ної ви-со-ти на ну-ле-виття уро-вень.
У від-ли-ність від ки-ні-ти-че-ської енер-гии, до то раю за ві сит від ско-ро-сті тіла, по-тен-ци-аль-ва енер-гія може бути не рав-ної нулю навіть у по-ко-я-чих-ся тел.
Мал. 4. Тіло, на-хо-дя-ще-е-ся нижче ну-ле-по-го рівня-ня
Якщо тіло на-хо-дить-ся нижче ну-ле-по-го рівня-ня, то воно об-ла-да-ет від-ри-ца-тель-ний по-тен-ци-аль-ної енер ги-їй (див. Рис. 4). Тобто знак і мо-дуль по-тен-ци-аль-ної енер-гии за-ві-сят від ви-бо-ра ну-ле-по-го рівня-ня. Пра-цю-та, до то раю со-вер-ша ет ся при пе-ре-ме-ще-ванні тіла, від ви-бо-ра ну-ле-по-го рівня-ня нема за -Ви-сит.
Тер-мін «по-тен-ци-аль-ва енер-гія» при-ме-ня-ет-ся толь-ко по від-но-ше-нию до сі-сте-ме тел. У всіх ви-ше-прі-ве-ден-них роз-суж-де-ні-ях цієї си-сте-мій була «Земля - тіло, під-ня-тое над Зем-лёй».
Завдання (знаходження потенційної енергії)
Од-но-род-ний пря-мо-вугілля-ний па-ра-ле-ле-пі-пед мас-сой m з рёб-ра-ми рас-по-ла-га-ють на го-ри-зон -таль-ної пло-ко-сти на каж-дой з трьох гра-ній по-оче-Рьод-но. Ка-ко-ва по-тен-ци-аль-ва енер-гія па-ра-ле-ле-пі-пе-да в каж-будинок з цих по-ло-же-ний?
Дано: m - маса па-ра-ле-ле-пі-пе-да; - довжина ребер па-ра-ле-ле-пі-пе-да.
Якщо потрібно визна-де-лити по-тен-ци-аль-ву енер-гію тіла ко-неп-них раз-ме-рів, то можна вва-тать, що вся маса та-ко-го тіла з-сре- до-то-че-на в одній точці, до то раю на-зи-ва-ет-ся цен-тром мас дан-но-го тіла.
У слу-чаї сім-мет-річ-них гео-мет-ри-че-ських тел центр мас сов-па-да-ет з гео-мет-ри-че-ським цін-тром, тобто (для дан- ної за-да-чи) з точ-кою пе-ре-се-че-ня діа-го-на-лей па-ра-ле-ле-пі-пе-да. Таким об-ра-зом, необ-хо-ді-мо по-вва-тать ви-со-ту, на ко-то-рій рас-по-ло-же-на дан-ва точка при раз-лич-них рас-по-ло-же-ні-ях па-ра-ле-ле-пі-пе-да (див. Рис. 5).
Мал. 5. Іл-лю-стра-ція до за-да-че
Для того щоб знайти по-тен-ци-аль-ву енер-гію, необ-хо-ді-мо по-лу-чен-ні зна-че-ня ви-со-ти розумно-жити на масу па-рал- ле-ле-пі-пе-та й уско-ре-ня сво-бод-но-го па-де-ня.
підсумки уроку
На даний-ном уроці ми на-учи-лись ви-чис-лять пра-цю-ту сили тя-же-сти. При цьому уві-де-ли, що, неза-ві-сі-мо від тра-ек-то-рії дві-же-ванні тіла, пра-цю-та сили тя-же-сти визна-де-ля-ет -ся раз-но-стю між ви-со-та-ми на-чат ко-но-го і ко-неп-но-го по-ло-же-ня тіла над недо-то-рим ну-ле-вим рівнів -нем. Також ми ввели по-ня-тя по-тен-ци-аль-ної енер-гии і по-ка-за-ли, що пра-цю-та сили тя-же-сти дорівнює через ме-ні-нию по -Тінь-ци-аль-ної енер-гии тіла, взя-тій з про-ти-по-по-лож-ним зна-ком.
До-пол-ні-тель-ре-ко-мен-до-ван-ні посиланн-ки на ре-сур-си мережі Ін-тер-ні
- По-про-си в кінці па-ра-гра-фа 49 (стор. 128); упраж-ні-ня 9 (1, 5) стор. 134 - Г.Я. Ма-ки-шев, Б.Б. Бу-хов-ців, М.М. Сот-ський. Фі-зи-ка 10 (див. Спи-сок ре-ко-мен-до-ван-ної лі-ті-ра-ту-ри) (Іс точ-ник)
- Чому дорівнює пра-цю-та сили тя-же-сті при дви-же-ванні тіла по за-мкну-тій тра-ек-то-рії?
- Як свя-за-на по-тен-ци-аль-ва енер-гія тіла з пра-цю-тої сили тя-же-сти?
- Що таке ну-ле-виття уро-вень?
- Яку пра-цю-ту треба со-вер-шити, щоб пе-ре-ло-жити пакет з борошном мас-сой 2 кг з полиці, на-хо-дя-щей-ся на ви-со-ті 0,5 м від-но-си-тель-но статі, на стіл, на-хо-дя-щий-ся на ви-со-ті 0,75 м від-но-си-тель-но статі? Чому рівні від-но-си-тель-но статі по-тен-ци-аль-ва енер-гія па-ке-та з борошном, ле-жав-ше-го на полиці, і його по-тен-ци аль-ва енер-гія тоді, коли він на-хо-дить-ся на столі?