Рішення скалярних рівнянь

Перейти до змісту на сторінці: 12

графік функції замінюється дотичною до нього в точці (x k. f (x k)) і за чергове наближення x k + 1 приймається абсциса точки перетину її з віссю OX. Використовуючи цю інтерпретацію легко отримати розрахункові формули (1.2) методу Ньютона і внаслідок цієї інтерпретації він іменується також методом дотичних.

Тут x 0. x 1. x 3 поледовательності наближення до кореня x¯. отримані в результаті застосування методу Ньютона.

Ясно, що збіжність послідовності до кореня залежить від властивостей функції f (·) і не завжди має місце. Так, легко уявити, що вже наближення x 1 не потрапляє на вихідний інтервал і процес ітерацій зупиняється.

Наведемо корисну теорему, яка гарантує в деяких випадках збіжність методу Ньютона.

Теорема 1.1. Якщо f (a) · f (b) <0, причём f 0 (x) и f 00 (x) отличны от нуля (и, следовательно, сохраняют определённые знаки при x [a, b]), то, исходя из начального приближения x 0 [a, b], удовлетворяющего условию f(x 0 ) · f 00 (x 0 )> 0, можна обчислити методом Ньютона за формулою (1.2) єдиний корінь x¯ рівняння (1) з будь-яким ступенем точності.

Зауваження 1.1. Практичним критерієм закінчення обчислень є виконання умови | x n + 1 - x n | <ε, где ε – требуемая точность вычисления корня.

Метод Ньютона - зручний спосіб обчислення кореня цілої

ступеня. Оскільки завдання добування кореня n c рівносильна задачі розв'язання рівняння (1) з функцією f (x) = x n -c, то розрахункова формула методу Ньютона набуває вигляду

Тут a k. b k - лівий і правий кінець інтервалу, якому належить корінь x¯ на попередньому кроці.

На початковому етапі вважаємо a 0 = a, b 0 = b. Нехай для визначеності f (a) <0, f(b)> 0. Якщо x 1 [a, b], то обчисливши c = f (x 1), вважаємо a 1 = c, b 1 = b 0 при c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 і повторюємо обчислення.

Якщо ж наближення x 1 6 [a, b], то застосовуємо формули (1.3) або (1.4) і чинимо як і вище: обчислюючи c = f (x 1), вважаємо a 1 = c, b 1 = b 0 при c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 і застосовуємо метод Ньютона.

§2. Про локалізації коренів

Якщо в рівнянні f (x) = 0 функція f (·) неперервна, то основою для локалізації кореня зазвичай служить наслідок з теореми Коші: якщо f (a) f (b) <0, то на интервале [a, b] имеется по крайней мере один корень указанного уравнения (точнее нечётное число корней). Для локализации корня на интервале [a, b] можно применять, например, такие подходы:

• Графічний метод. Початкове рівняння (1) приводиться до вигляду g (x) = h (x), будуються графіки функцій y = g (x) і y = h (x) і визначається інтервал осі OX. якому належить абсциса точки перетину графіків. Він і використовується для уточнення кореня.

Перейти до змісту на сторінці: 12

• Послідовний перебір. Інтервал [a, b] розбивається на

N рівних відрізків і обчислюються значення функції f (·)

в точках x k = a + kh, k = 0, 1. N, де h = (b - a) / N.

Якщо при цьому знайдеться інтервал [x k. x k + 1], для якого f (x k) f (x k + 1) <0, то тем самым корень функции будет локализован с точностью h/2. Может оказаться, что функция f(·) не меняет знака на последовательности . Если корень на [a, b] существует, то последнее означает, что шаг h слишком велик и его следует заменить на меньший, полагая, например, N = 2N.

• Перебір зі змінним кроком. Якщо функція f (x) є Ліпшіцевой, тобто

| F (x 0) - f (x 00) | ≤ L | x 0 - x 00 |, x 0. x 00 [a, b],

то можна будувати послідовність виду:

x 0 = a, x k + 1 = x k + | f (x k) |. L

Підставою до цього може служити те, що при f (x) = cx + d, можна прийняти L = | c | і в цьому випадку значення x 1. отримане зазначеним способом, задовольняє рівняння f (x) = 0.

Якщо L невідома, то можна її замінити через

L k = | f (x k) - f (x k-1) |.

• Використання мажоранту. Якщо відомі оцінки функції f (·) на [a, b], тобто

і коріння x - і x + цих функцій, то

Приклад 2.1. Нехай f (x) = sin x + x 3 - 2, x [0, π]. оскільки

на зазначеному інтервалі 0