Рішення квадратних нерівностей

Рішення квадратних нерівностей. графічний метод

Рішення квадратних нерівностей.
Квадратним будемо називати нерівності виду:
або,.
Зауваження: знак нерівності може бути будь-який, основною ознакою того, що нерівність квадратне є те, що з нулем порівнюється многочлен другого ступеня.

У цій статті будуть розібрані кілька методів вирішення квадратних нерівностей і показано зв'язок між цими методами.

Метод I Основний, графічний.

Приклад 1: Вирішити нерівність. У лівій частині якого коштує квадратний тричлен. Побудуємо його графік, тобто графік функції . Всім відомо, що графіком квадратичної функції є парабола.
Зауваження: Алгоритм схематичного побудови параболи:
1) З'ясувати напрямок гілок.
Якщо, то гілки спрямовані вгору, якщо, то вниз.
У разі - гілки спрямовані вгору.
2) З'ясувати координати перетину графіка з віссю ОХ. Ординати цих точок рівні 0, тобто в функцію необхідно підставити і вирішити отримане рівняння.
В разі :

Таким чином, графік функції перетинає вісь ОХ в точках з координатами.

Зауваження: Якщо квадратне рівняння не має коренів, то парабола вісь абсцис не перетинає.

3) Пункт необов'язковий в разі, якщо графік параболи перетинає вісь абсцис.
Визначити координати вершин параболи:.
В разі :

Координати вершини:.
Побудуємо параболу, спираючись на отримані факти:

Нагадаємо, що вирішується завдання
Початкове нерівність можна записати у вигляді:, де.
Рішенням будуть абсциси (координати) точок графіка, ординати (координати) яких більше нуля, тобто лежать у верхній півплощині. Пояснимо це твердження на прикладі.
Приклад (окремий випадок):
Розглянемо точку А (див. Рис.) З координатою.

Вона лежить у верхній півплощині, тобто її абсциса є рішенням нерівності.
Перевіримо це:
а) З алгебраїчної точки зору:
Підставами в нерівність:

Нерівність вірно, значить є рішенням нерівності.
б) З геометричної точки зору. Пам'ятаємо, що побудована парабола і розглядається точка А з абсцисою. Обчислимо ординату. . Ордината цієї точки позитивна, що неозброєним оком видно на графіку. тобто нерівність виконується.

Відзначимо синім кольором на кресленні ділянки графіка, для яких виконується умова:

Запишемо абсциси цих точок (необхідні ділянки осі абсцис позначені штрихуванням):. Це і буде відповіддю нерівності.
відповідь:

Приклад 2:
Вирішити нерівність.
Побудуємо схематично параболу
1) Напрям гілок.
, гілки параболи спрямовані вгору.
2) Перетин з ОХ.

Парабола перетинає вісь абсцис в точках з координатами.
3) координати вершини:

Координати вершини параболи:
Побудуємо графік:

Нерівність можна записати вигляді, де. Тобто для вирішення нерівності цікаві точки, ординати яких менше або дорівнюють нулю, тобто точки, що лежать в нижній півплощині або на осі ОХ.
Відзначимо ці точки:

Штрихуванням позначимо абсциси цих точок і запишемо це безліч:. Ці значення змінної і будуть рішенням нерівності.
відповідь:

Приклад 3:
Вирішити нерівність.
Побудуємо схематично параболу
1) Напрям гілок.
, гілки параболи спрямовані вгору.
2) Перетин з ОХ.

Корній немає.
Парабола не перетинає вісь абсцис.
3) Координати вершини:

Координати вершини параболи:
Побудуємо графік:

Нерівність можна записати вигляді, де. Тобто для вирішення нерівності цікаві точки, ординати яких менше або дорівнюють нулю, тобто окуляри, що лежать в нижній півплощині або на осі ОХ. Таких точок немає, тому що вся парабола лежить вище осі ОХ. Робимо відповідний висновок.
Відповідь: рішень немає, тобто не існує таких значень змінної, при яких нерівність - вірне.