Реферат теорія ймовірностей наука про випадковому - банк рефератів, творів, доповідей, курсових і

Реферат учня 9 класу «А» середньої школи № 1054 Валішева Тимура

1. Вступ.

З першого погляду може здатися, що ніяких законів, які керують випадковими явищами немає і бути не може. Однак, якщо розібратися, випадкові явища відбуваються не так вже хаотично. У багатьох випадках виявляються закономірності. Ці закономірності не схожі на звичайні закони фізичних явищ; вони дуже різні.

Візьмемо, наприклад, гру в монету. При киданні може бути два рівноймовірно результату: монета може впасти догори гербом чи решкою. Кидаючи монету один раз не можна передбачити, яка сторона виявиться зверху. Однак, кинувши монету 100 раз, можна зробити висновки. Можна заздалегідь сказати, що герб випаде Не 1 і не 2 рази, а більше, але і не 99 і не 98 разів, а менше. Число випадінь герба буде близько до 50. Насправді, і на досвіді можна в цьому переконатися, що це число буде укладено між 40 і 60.

Так само статистично встановлено, що на 1000 дітей припадає 511 хлопчиків і 489 дівчаток (тобто 48,9% і 51,1% відповідно). Це вражаюче сталість зазначено багатьма вченими, серед яких і Симон Лаплас, один із засновників Теорії. Ця інформація дозволяє нам з великою точністю прогнозувати ймовірність кількості хлопчиків чи дівчаток в той чи інший рік (ці розрахунки, наприклад, використовуються призовний комісією).

2. Визначення та основні поняття Теорії.

Тепер перейдемо до алгебраическому висловом Теорії. Ось класичне визначення:

визначення: Нехай безліч фіналів досвіду складається з n рівно можливих випадків. Якщо m з них сприяють події A, то ймовірністю події A називається число

Даючи таке визначення, ми розраховуємо, що (в силу равновероятности фіналів досвіду) при n-кратному повторенні досвіду подія A настане в випадках (саме в цьому полягає практична цінність Теорії).

Слід пояснити деякі поняття Теорії, які будуть необхідні в подальшому:

Достовірна подія - подія, яка обов'язково має відбутися в результаті досвіду. Така подія позначається буквою E (Expected)

Неможливе подія - подія, яка не може статися в результаті досвіду. Така подія позначається буквою U (Unreal)

Несумісні події - події, які не можуть відбутися в результаті досвіду одночасно.

Спільні події - події, які можуть статися в результаті досвіду одночасно.

Подія A сприяє події B, якщо з того, що сталося подія A слід подія B. (тобто)

Об'єднанням подій A і B називається подія, яке у тому, що в результаті досвіду сталося хоча б одне з цих подій (тобто).

Перетином подій A і B називається подія, яке у тому, що в результаті досвіду сталися обидва з цих подій (тобто).

Закон великих чисел.

Нехай K раз ми виконали випробування, і N раз в результаті досвіду відбулася подія A. Тоді число називатиметься частотою появи події А. Закон великих чисел стверджує, що при ймовірності події А дорівнює

(Причому N і K нам невідомі), то завжди можна вибрати досить велике N, щоб виконувалося співвідношення:

де (іпсилон) - як завгодно мале позитивне нерівне нулю число.

Це означає, що при досить великій кількості випробувань частота появи тієї чи іншої події буде як завгодно мало відрізнятися від нуля.

Це співвідношення дає можливість встановлювати дослідним шляхом за досить хорошим наближенням ймовірність невідомого нам події.

3. Завдання і приклади.

Перші розрахунки ймовірностей подій почалися ще в XVII столітті з підрахунку шансів гравців в азартних іграх. В першу чергу це була гра в кості.

Кинули кістку. Яка ймовірність того, що випало число 5?

Всього існує 6 варіантів випадання кістки (n = 6). Всі ці варіанти рівноймовірно, тому що кістка зроблена так, що у всіх сторін є однакові шанси опинитися зверху, отже, m = 1; значить

Де Р (5) - ймовірність випадання п'ятірки.

Яка ймовірність того, що при киданні випаде парне число очок?

Сприятливих можливостей тут три: 2; 4; 6. Тому m = 3, всього фіналів 6 (n = 6), отже

Де P (парні.) - ймовірність випадання парного номера.

Кинули 2 гральні кістки і підрахували суму що випали очок. Що імовірніше - отримати в сумі 7 або 8?

Ось безліч фіналів досвіду: «Разом випало 2 очка», «Разом випало 3 очка», ..., «Разом випало 12 очок». Нас цікавлять події A = «випало 7 очок» і B = «випало 8 очок». Але це не рівноімовірні результати досвіду, як може здатися з першого разу. Дійсно, 2 в сумі може вийти єдиним чином: 2 = 1 + 1, а 4 = 1 + 3 і 4 = 2 + 2, отже, шансів на те, що випаде 4, більше. Розглянемо таку силу-силенну подій: «на одній кістки випало k очок, а на інший кістки випало p очок». . Але це теж не рівноімовірні результати. Щоб отримати равновероятностних результату досвіду, пофарбуємо кістки в різні кольори (чорний і білий). У підсумку ми маємо: «на білої кістки випало k очок, на чорної - p». Позначимо це (k; p). Два таких події попарно несумісні. Число всіх можливих результатів n = 62 = 36 (кожне з 6 очок на білої кістки може поєднуватися з будь-яким з 6 очок на чорної кістки). З цих 36 випадків події A будуть сприяти результати: (1; 6); (2; 5); (3, 4); (4, 3); (5; 2); (6; 1), тобто всього 6 (m = 6). За формулою маємо:

Події B сприятимуть результати: (2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2), тобто всього 5. За формулою, маємо:

, отже, отримати в сумі 7 очок - більш ймовірне подія, ніж отримати 8.

Це завдання вперше була вирішена гравцями в кості, і вже потім - вирішена математично. Вона стала однією з перших, при обговоренні яких почала складатися Теорія.

У коробці лежить 20 однакових на дотик куль. З них 12 білих і 8 чорних. Навмання виймається куля. Яка ймовірність того, що ця куля білий?

В результаті досвіду може наступити 2 події: A = «Вийнято чорна куля» і B = «Вийнято біла куля». Але ці 2 події не різновірогідні, тому що білих куль більше. Для отримання безлічі рівно можливих випадків пронумеруємо кулі: з 1 по 12 - білі і з 13 по 20 - чорні. Всі події Ek = «Вийнято куля з номером k» різновірогідні, тому що кулі на дотик не відрізняються і виймаються на удачу. Тим більше, всі 20 подій Ek і є безліччю фіналів нашого досвіду, отже, n = 20. З них 12 сприяють цікавого для нас події B, отже, m = 12. Отже

Це означає, що з імовірністю 0,6 (60%) ми витягнемо біла куля.

У Теорії існує таке поняття, як незалежність подій. У кожного з нас є інтуїтивне уявлення про незалежність подій. Так, наприклад, ми розуміємо, що, якщо кинути дві монети, то те, що випало на одній монеті, не залежить від того, що випало на інший. Але тому що Теорія - математична наука, то треба дати точне визначення незалежності подій.

визначення: Дві події А і В називаються незалежними, якщо виконується рівність:

Два мисливця незалежно один від одного одночасно стріляють по зайцю. Заєць буде убитий, якщо потрапили обидва. Які у зайця шанси вижити, якщо перший мисливець потрапляє з ймовірністю 0,8, а другий з імовірністю 0,75?

Розглянемо дві події: А = «в зайця потрапив 1-й мисливець» і В = «в зайця потрапив 2-й мисливець». Нас цікавить подія (тобто відбулося і подія A і подія В). В силу незалежності подій, маємо:

Це означає, що в 6 випадках з 10 зайця пристрелять.

Відомо, що на кожні 10 квитків припадає один виграшний. Яка ймовірність виграшу, якщо є 50 квитків?

За відомою нам формулою легко обчислити, що ймовірність виграшу одного квитка 0,1; ймовірність того, що він не виграє 0,9. Виграші та програші квитків один від одного незалежні. Імовірність того, що не виграє перший квиток 0,9. Імовірність того, що не виграє другий теж 0,9. Тоді ймовірність того, що не виграє ні перший, ні другий, за визначенням незалежних подій

Точно так же показується, ймовірність того, що не виграють перші 3 квитка, становить 0,93; а ймовірність того, що не виграють усі 50 квитків = 0,950; тобто приблизно 0,005. Відповідно, ймовірність виграшу хоча б одного квитка 0,995 (99,5%).

Один французький лицар, де Мері, був пристрасним гравцем у кістки. Він всіляко намагався розбагатіти і придумував для цього різні ускладнені правила.

Він, зокрема, придумав такі правила: кидають 4 кістки і він б'ється об заклад, що хоча б на одній випаде 6. Він вважав, що в переважній більшості випадків він залишиться у виграші. Щоб підтвердити це, він звернувся до свого старого знайомого - Блез Паскаль з проханням розрахувати, наскільки ймовірним є виграшу в цій грі.

Наведемо розрахунок Паскаля.

При кожному окремому киданні ймовірність події A = «випала шістка» =. Імовірність події B = «не випала шістка» =. Кубики не залежать одне від одного, отже, по формулі

ймовірність того, що шістка чи не випаде двічі поспіль, становить

Точно так же показується, що при триразовому киданні ймовірність невипадання 6 становить

А при чотириразовому -

А, отже, ймовірність виграшу. Значить, при кожній грі більше половини шансів було за те, що де Мері виграє; при багаторазовому повторенні гри він напевно залишався у виграші.

Резонно поставити питання, якою має бути ймовірність події, щоб можна було вважати його достовірним? Відомо, що приблизно 5% призначених концертів скасовується, проте це не заважає нам купувати квитки. Але якби 5% літаків розбивалися, то навряд чи б хто-небудь став користуватися повітряним транспортом.

Для того, щоб в умовах мирного часу не ризикувати життям, то ймовірність несприятливого результату повинна бути, по-видимому, не більш 0,0001. Різні люди по-різному ставляться до ризику, але очевидно, що навіть самі обережні легко підуть на ризик, якщо ймовірність несприятливого результату становить 10-5. Наприклад, ймовірність потрапити під машину у великому місті 10-7. Так що можна припустити, що подія з ймовірністю несприятливого результату 10-7 можна вважати достовірним, проте транспортні пригоди трапляються щодня.

Але все-таки ймовірність неможливого події більшість учених оцінює як 10-16.

4. Метод «Монте-Карло».

визначення. Метод Монте-Карло - це чисельний метод рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин.

Теоретична основа методу була відомо давно, однак тільки з появою комп'ютерів він знайшов широке застосування, тому що моделювати випадкові величини вручну - трудомістке заняття.

Сама назва методу - «Монте-Карло» походить від назви міста в князівстві Монако, знаменитого своїми гральними будинками. Справа в тому, що найпростішим приладом для моделювання випадкових величин є ... рулетка. Найбільш часто задається питання, природно: «Чи допомагає метод вигравати в рулетку». Ні, на жаль, не допомагає.

Тепер перейдемо безпосередньо до математики. Щоб було зрозуміло, про що йде мова, наведемо простий приклад застосування методу.

Припустимо, нам треба обчислити площу фігури, зображеної на малюнку. Припустимо, що вона розташована всередині одиничного квадрата.

Виберемо всередині одиничного квадрата N випадкових точок. Позначимо через N 'число точок, що потрапили всередину цієї фігури. Тоді площа цієї фігури буде наближено дорівнює.

На малюнку всього 30 точок. 12 з них потрапили в фігуру,, в той час як справжня площу фігури дорівнює 0,48.

Перша особливість - простота обчислювального алгоритму. Як правило, складається програма для проведення одного випадкового випробування, і повторювати його N раз. Тому Метод часто називають методом статистичних випробувань

Друга особливість - похибка, як правило, пропорційна, де D = const, N - число випробувань.

Різні завдання можна вирішувати різними варіантами Методу, яких, до речі, дуже багато. Для кожного варіанту - своє значення D і, відповідно, своє значення похибки.

За допомогою Методу можна змоделювати будь-який процес, перебіг якого пов'язаний із випадковими величинами. Так само можна штучно придумати вірогідну модель для задач, які пов'язані з випадковістю.

Для отримання випадкових чисел існують спеціальні таблиці, якими особливо зручно користуватися на комп'ютерах: кожен раз ми просто беремо чергове число і використовуємо його як випадкове. Але скласти таку таблицю не так просто, як може здатися. Існують спеціальні тести, щоб перевірити правильність випадкової послідовності.

Практичне значення Методу дуже велике. З його допомогою, наприклад, можна розрахувати надійність будь-якого виробу, або розрахувати траєкторію проходження нейтронів крізь пластину чи становище електрона в даний момент часу