Речовий корінь кратності

1. Нехай - безліч можливих результатів (будемо розглядати грошові результати). Простий лотереєю будемо називати набір ймовірностей. де - ймовірність результату і. Позначимо безліч простих лотерей через.

Визначення. Уподобання споживача представимо функцією очікуваної корисності. якщо кожному результату можна привласнити число таким чином, що для будь-яких двох лотерей і з безлічі простих лотерей: рівносильно.

Функція U. певна на лотереях, називається функцією очікуваної корисності або функцією корисності Нейману-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцію. певну на грошових сумах, прийнято називати елементарною функцією корисності або функцією корисності Бернуллі (будемо вважати її безперервної і збільшенням).

Затвердження (Единственность функції очікуваної корисності) .Якщо функція - функція очікуваної корисності, що представляє переваги, певні на. то - інша функція очікуваної корисності, що відображає ті ж переваги на тоді і тільки тоді, коли існують числа і такі, що для будь-якої лотереї.

Визначення. Будемо говорити, що індивід не схильний до ризику. якщо будь-яка лотерея для нього не краще очікуваного виграшу цієї лотереї,. отриманого з певністю. Якщо споживач строго за краще очікуваний виграш самої лотереї, то кажуть, що він строго не схильний до ризику або ріскофоб.

Будемо говорити, що індивід нейтральний до ризику. якщо він байдужий між лотереєю і її очікуваним виграшем, отриманим з певністю.

Будемо говорити, що індивід схильний до ризику. якщо вважає за краще лотерею її очікуваного виграшу, отриманого з певністю. Якщо споживач строго за краще лотерею її очікуваного виграшу, то кажуть, що він строго схильний до ризику або ріскофіл.

Якщо переваги індивіда представимо за допомогою функції очікуваної корисності, то несхильність до ризику означає увігнутість елементарної функції корисності (для ріскофоба - сувору увігнутість); схильність до ризику еквівалентна опуклості елементарної функції корисності (для ріскофіла - суворої опуклості); у нейтрального до ризику індивіда елементарна функція корисності лінійна:. де. або.

Определеніе.Денежним (гарантованим) еквівалентом лотереї будемо називати суму грошей (отриману з певністю), яка приносить індивіду таку ж корисність, що і дана лотерея:.

Премія за ризик - максимальна сума грошей, від якої індивід готовий відмовитися, щоб не брати участь у ризику:.

Затвердження. Для індивіда-ріскофоба для будь-якої лотереї виконано: (тобто він будь-яку лотерею оцінює в суму меншу її очікуваного виграшу).

2. Модель попиту на страховку.

Розглянемо індивіда-ріскофоба, переваги якого описуються функцією очікуваної корисності з дифференцируемой елементарної функцією корисності. Нехай багатство даного індивіда одно. проте існує можливість втрати частини цього багатства рівною. . в результаті деякого нещасного випадку, ймовірність якого дорівнює. Індивід може придбати страховку від нещасного випадку у нейтральній до ризику страхової компанії, що не несе операційних витрат, за ціною за одиницю страхового покриття (). Нехай - це величина страхового покриття, що купується індивідом, тобто та сума, на яку він страхується. Будемо вважати, що страхування на суму, що перевищує втрати, заборонено, тобто . Якщо індивід купить одиниць страховки, то його багатство у разі настання нещасного випадку складе. а в іншому випадку -. Індивід вибирає такий обсяг страхового покриття, який доставляє максимум очікуваної корисності, тобто є рішенням наступної задачі:

У разі, коли. будемо говорити, що умови страхування актуарно справедливі. а в разі будемо говорити, що страховка не є актуарно справедливою.

Речовий корінь кратності

б) Речовий корінь кратності. Якщо корінь характеристичного рівняння має кратність, то, природно, ми не можемо використовувати однакових приватних рішень виду. відповідних цього кореня, так як визначник Вронського матиме однакові стовпці і, отже, звернеться в нуль. У зазначеному вигляді ми зможемо взяти тільки одне з приватних рішень. Можна показати, що все приватних рішень, які відповідають цій корені характеристичного рівняння, мають вигляд. тобто функції. задовольняють вихідному однорідному диференціальних рівнянь. Зауважимо насамперед, що якщо - корінь рівняння кратності, то - корінь будь-якого з рівнянь.

Покажемо, як проводиться доказ того, що (випадок) задовольняє вихідному однорідному рівнянню. Підставами в ліву частину вихідного однорідного диференціального рівняння і отримаємо

Перший вираз в квадратних дужках звертається в нуль, так як - корінь характеристичного рівняння, другий вираз в квадратних дужках звертається в нуль, так як - корінь рівняння. Подібним же чином можна показати, що функції. задовольняють вихідному однорідному диференціальних рівнянь.

П р и м і р. Вирішити однорідне диференціальне рівняння. Характеристичне рівняння має вигляд. і отже, має коріння 0 (кратності чотири) і 1 (кратності два). Тому загальним рішенням вихідного диференціального рівняння є функція.

в) Простий комплексний корінь. При вирішенні алгебраїчного рівняння з речовими коефіцієнтами наявність комплексного кореня забезпечує наявність комплексно сполученого кореня. Тому можна було б в якості приватних рішень, які відповідають цій парі коренів, взяти функції. Однак для того, щоб не привертати комплексні числа для рішення диференціальних рівнянь з речовими коефіцієнтами, використовуючи формулу Ейлера. в якості приватних рішень беруть функції і.

П р и м і р. Вирішити диференціальне рівняння. Характеристичним рівнянням є рівняння. Корінням цього рівняння є (кратності 2) і комплексні корені. Тому спільне рішення має вигляд.

г) Комплексні коріння кратності. У разі, коли характеристичне рівняння має два комплексно сполучених кореня кратності, що відповідають цим коріння приватні рішення відповідного однорідного диференціального рівняння мають вигляд. і.

П р и м і р. Вирішити диференціальне рівняння. Характеристичне рівняння можна представити у вигляді. отже, корінням характеристичного рівняння є (кратності 2) і (кратності 2). Тому загальним рішення заданого однорідного диференціального рівняння буде функція.

Рішення неоднорідного рівняння. Ми вже знаємо, як знайти спільне рішення однорідного рівняння. Щоб знайти загальне рішення неоднорідного рівняння, потрібно знайти приватне рішення неоднорідного рівняння і додати до нього вже знайдене спільне рішення відповідного однорідного рівняння. Дійсно, нехай - спільне рішення однорідного рівняння. що містить довільних постійних. Якщо задовольняє неоднорідного рівняння. то функція задовольняє того ж неоднорідного рівняння і містить довільні постійні.

Таким чином, питання про знаходження спільного рішення неоднорідного рівняння зводиться до питання про знаходження приватного рішення неоднорідного рівняння. Існують різні методи побудови такого рішення. Розглянемо метод варіації довільної сталої, який дозволяє відразу отримати спільне рішення неоднорідного рівняння.

Суть цього методу в тому, що, отримавши рішення відповідного однорідного рівняння у вигляді. ми шукаємо спільне рішення неоднорідного рівняння у вигляді і підбираємо такі невідомі функції. щоб функція задовольняла неоднорідного рівняння. Виявляється, що для цього достатньо, щоб ці похідні цих невідомих функцій задовольняли системі

Доведемо це для випадку. Нехай необхідно вирішити рівняння. Рішення однорідного рівняння має вигляд. причому. Візьмемо загальне рішення неоднорідного рівняння у вигляді і підставимо в неоднорідне рівняння. Ми отримаємо:

Вирази, що мають співмножники і звертаються в нуль, тому маємо:

Нехай. Взявши похідні від обох частин цієї рівності, отримаємо. Тому для того, щоб функція була рішенням неоднорідного рівняння, залишається покласти.

П р и м і р. Вирішити диференціальне рівняння. Характеристичне рівняння для відповідного однорідного рівняння має вигляд. Отже, загальне рішення однорідного рівняння - функція. Тому спільне рішення неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді. Для визначення невідомих функцій складемо систему щодо їх похідних

Скорочуючи рівняння на. ми отримаємо систему з головним визначником, рівним 1. Вирішуючи систему і інтегруючи, отримаємо

. Загальне рішення вихідного рівняння запишеться тепер у вигляді. Зауважимо, що в силу довільності константи вираз можна замінити виразом. Тому рішення можна записати у вигляді.