Пряма Ейлера - студопедія

1) Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Нехай у трикутників ABC і A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = A1B1.

Нехай A1B2C2 - трикутник, рівний трикутнику ABC. Вершина B2 розташована на промені A1B1, а вершина С2 в тій же півплощині відносно прямої A1B1, де лежить вершина С1. Так як A1B2 = A1B1, то вершина B2 збігається з вершиною B1. Так як ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 і ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то промінь A1C2 збігається з променем A1C1, а промінь B1C2 збігається з променем B1C1. Звідси випливає, що вершина С2 збігається з вершиною С1. Трикутник A1B1C1 збігається з трикутником A1B2C2, а значить, дорівнює трикутнику ABC. Теорема доведена.

2 Теорема (теорема Чеви). Нехай точки лежать на сторонах і трикутника відповідно. Нехай відрізки і перетинаються в одній точці. тоді

(Обходимо трикутник за годинниковою стрілкою).

Доведення. Позначимо через точку перетину відрізків і. Опустимо з точок і перпендикуляри на пряму до перетину з нею в точках і відповідно (див. Малюнок).

Оскільки трикутники і мають спільну сторону. то їх площі відносяться як висоти, проведені на цю сторону, тобто і:

Остання рівність справедливо, так як прямокутні трикутники і подібні по гострому углу.Аналогічно отримуємо

і Перемножимо ці три рівності:

що й потрібно було довести.

Зауваження. Відрізок (або продовження відрізка), що з'єднує вершину трикутника з точкою, що лежить на протилежному боці або її продовженні, називається чевіаной

3-ий ознака рівності трикутників.
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

дано: # 916; АВС, # 916; А1У1С1 АВ = А1B1 ВС = В1C1 СА = С1В1 Довести: # 916; АВС = # 916; А1У1С1

Нехай трикутники ABC і A1B1C1 такі, що AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Потрібно довести, що трикутники рівні.

Припустимо, що трикутники не рівні. Тоді ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одночасно. Інакше трикутники були б рівні за першою ознакою.

Нехай трикутник A1B1C2 - трикутник, рівний трикутнику ABC, у якого вершина С2 лежить в одній півплощині з вершиною С1 відносно прямої A1B1.

Нехай D - середина відрізка С1С2. трикутники A1C1C2 і B1C1C2 рівнобедрені із загальним підставою С1С2. Тому їх медіани A1D і B1D є висотами. Значить, прямі A1D і B1D перпендикулярні прямий С1С2. Прямі A1D і B1D не збігаються, так як точки A1, B1, D не лежать в одній прямий. Але через точку D прямий С1С2 можна провести тільки одну перпендикулярну їй пряму. Ми прийшли до протиріччя. Теорема доведена.

З доведених теорем 1 і 2 випливає, що цікавить нас властивість чудових точок трикутника.

Теорема 3. Центр Про описаної окружності, центр ваги G і Ортоцентр H будь-якого трикутника лежать на одній прямій, причому точка G лежить між точками О і Н і OG: GH = 1: 2.

Порівнюючи це рівність з рівністю, отримаємо

Отже, вектори OH і OG, що мають спільний початок O, розташовані на одній прямій і | OG |. | GH | = 1. 2.

Пряма, на якій лежать точки O, G і H, називається прямий Ейлера.

Для довільного трикутника де a, b, c - сторони трикутника, # 945 ;, # 946 ;, # 947; - відповідно протилежні їм кути, а R - радіус описаного навколо трикутника кола.

Досить довести наступні положення: Проведемо діаметр | BG | для описаного кола. По властивості кутів, вписаних в коло, кут прямий і кут при вершині G трикутника дорівнює або # 945 ;, якщо точки A і G лежать по одну сторону від прямої BC, або π - # 945; в іншому випадку. Оскільки sin (π - # 945;) = sin # 945 ;, в обох випадках a = 2Rsin # 945 ;. Повторивши теж міркування для двох інших сторін трикутника отримуємо:

2) Кожна сторона трикутника менша від суми двох інших сторін.

Розглянемо довільний трикутник ABC і доведемо, що AB

У трикутник BCD 1 = 2, а в трикутнику ABD кут ABD> 1 і, отже, кут ABD> 2. Так як в трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, то AB

Для будь-яких трьох точок A, B і С, які не лежать на одній прямій, справедливі нерівності: AB

Кожне з цих нерівностей називається нерівністю трикутника

1) У трикутник кути при основі рівні.

У трикутник бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

У трикутник медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.

У трикутник висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.

Доведемо одну з них

Ріс.1Доказательство. Розглянемо трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD - бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD - загальна сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так як AD - бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ С. Теорема доведена.

2) Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

Формули площі трикутника.
1) Площа трикутника дорівнює половині твори підстави на висоту.
2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними.
3) Площа трикутника дорівнює добутку його напівпериметр на радіус вписаного кола.
4) Площа трикутника дорівнює добутку трьох його сторін, поділеній на учетверенное радіус описаного кола.
5) Формула Герона.

де р - напівпериметр трикутника р = (а + b + c) / 2