Поперечного перерізу - студопедія

При розрахунках на міцність, жорсткість і стійкість використовуються геометричні характеристики поперечного перерізу бруса: площа, осьові і полярний моменти інерції, осьові і полярний моменти опору. Крім того, при їх визначенні допоміжну роль грають статичні моменти і відцентрові моменти інерції перерізу.

Нагадаємо визначення, властивості і методи обчислення перерахованих характеристик (рис. 2.1).

Площа перетину. , Де dS - площа елементарної площадки.

Статичний момент площі перетину - сума добутків площ елементарних площадок на їх відстані до даної осі, взята по всій площі перетину. Статичний момент перетину вимірюється в одиницях довжини третього ступеня (мм 3. см 3. м 3).

Статичні моменти перерізу відносно осей Оі і ОV:

де і - відстані від центра ваги перерізу відповідно до осей ОV і Оі.

Статичний момент перетину може бути як позитивним, так і негативним. Щодо будь-якої осі, що проходить через центр ваги перерізу, він дорівнює нулю.

Осьової момент інерції перерізу - сума добутків площ елементарних площадок на квадрати їх відстаней до даної осі, взята по всій площі перетину.

Полярний момент інерції - сума добутків площ елементарних площадок на квадрати їх відстаней до точки (полюса), взята по всій площі перетину.

Осьові і полярний моменти інерції - величини істотно позитивні. Осьові і полярні моменти інерції перерізу вимірюються в одиницях довжини четвертого ступеня (мм 4. см 4. м 4).

Відцентровий момент інерції - сума добутків площ елементарних площадок на їх координати, взята по всій площі перетину.

Відцентровий момент інерції вимірюється в одиницях довжини четвертого ступеня (мм 4. см 4. м 4), може бути позитивним, негативним і рівним нулю.

Через будь-яку точку, взяту в площині перетину, можна провести дві взаємно перпендикулярні осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю. Ці осі називаються головними осями (іноді їх називають головними осями інерції). Практичний інтерес представляють лише головні осі, що проходять через центр ваги перерізу, вони називаються головними центральними осями (для стислості надалі будемо в більшості випадків називати їх просто головними осями).

Осьові моменти інерції щодо головних осей (головні моменти інерції) екстремальні - щодо однієї з них момент інерції максимальний, а щодо іншого - мінімальний. Для розрахунків на міцність і жорсткість при згині, поєднанні вигину з розтягуванням і в ряді інших випадків потрібно знати положення головних центральних осей і величини відповідних моментів інерції.

У разі, якщо перетин має хоча б одну вісь симетрії, то ця вісь і вісь до неї перпендикулярна, що проходить через центр ваги перерізу, є головними центральними осями.

При обчисленні головних моментів інерції перерізів, складених з найпростіших геометричних фігур або стандартних прокатних профілів, широко застосовуються формули переходу від центральних до паралельних їм нецентральним осях (рис. 2.2).

Ці формули мають такий вигляд: для осьового моменту інерції

для відцентрового моменту інерції

Координати а й b повинні бути підставлені зі своїми знаками (а і b - координати початку нової системи координат в старих осях). В окремому випадку, якщо вихідні осі Ох0 і Оу0 головні, тоді маємо:

Наведемо формули для обчислення моментів інерції прямокутника, трикутника, кола і кільця.

А. Прямокутник (рис. 2.3):. де b # 8209; сторона, паралельна осі, щодо якої обчислюється момент інерції.

Для осі, що збігається з однією з сторін прямокутника (не головний момент інерції):.

Б. Рівнобедрений трикутник (рис. 2.4).

Головні моменти інерції:; .

Зауважимо, що формула дає величину моменту інерції будь-якого трикутника відносно осі, паралельної його основи, але, якщо трикутник неравнобедренний, зазначена вісь НЕ буде головною.

Г. Кільце (рис. 2.6):. де:. коефіцієнт труби.

Зауважимо, що для круга та кільця всі центральні осі головні і моменти інерції щодо цих осей рівні між собою. Цим же властивістю володіє будь-який перетин, у якого два головних центральних моменту інерції однакові.

При обчисленні моментів інерції складних перетинів (складених з найпростіших фігур або прокатних профілів) координати їх центру ваги визначають за формулами:

де:; ; - відповідно площа і координати центру ваги кожної зі складових фігур; S ;; # 8209; площа і статичні моменти всього перерізу.

Моменти інерції (осьові і відцентрові) складних перетинів щодо даних осей визначають шляхом підсумовування відповідних моментів інерції складових фігур щодо тих же осей.

При цьому використовуються формули переходу від центральних до паралельних їм нецентральним осях.

У тих випадках, коли розтин не має жодної осі симетрії, спочатку обчислюють моменти інерції щодо деяких доцільно обраних центральних осей Ох0 і Оу0 (вихідні осі), потім визначають кут нахилу головних осей по відношенню до вихідних і величини головних моментів інерції.

Зв'язок між моментами інерції щодо вихідних осей (Ох0. Оу0) і осей, повернутих на довільний кут а (рис. 2.7), має вигляд:

Кут повороту головних осей по відношенню до вихідних визначається із залежності

Ця формула дає два значення кута. і = + 90 °. При>. кут дає положення головної осі, щодо якої момент інерції максимальний. Позитивний кут слід відкладати від осі х0 проти годинникової стрілки.

Для визначення положення (кута нахилу) головних осей можна застосовувати формули:

де:. і. - кути, утворені головними осями х і у відповідно з віссю х0; і - головні моменти інерції.

Головні моменти інерції можна обчислити, підставляючи в неї послідовно = і =. але практично зручніше користуватися формулами, що не містять тригонометричних функцій. Ці формули мають вигляд: