поняття алгебри

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Алгеброю називається пара множин А = (М,), де М - називається основним, несучим безліччю або носієм алгебри, а = - безліч операцій, визначених на множині М, називається сигнатурою алгебри.

Нехай P (J) - булеан універсальної множини J. Тоді булевої алгеброю множин називають алгебру B = (P (J),), де =<. .>, тобто безліч, що включає в себе операції об'єднання, перетину і доповнення.

Закони алгебри множин.

щодо операції об'єднання, щодо операції перетину.

А В = В А А В = В А

щодо операції об'єднання, щодо операції перетину.

А (В С) = (А В) С А (В С) = (А В) С

перетину щодо об'єднання, об'єднання щодо перетину.

А (В С) = (А В) (А С) А (В С) = (А В) (А С)

щодо об'єднання, щодо перетину.

A (A B) = A A (A B) = A

Всі ці закони можуть бути доведені за допомогою поелементного схеми докази.

Покажемо, наприклад, справедливість закону 12.

Нехай x A \ B, тобто x A і x B. Так як x B, то x. Звідси x A і x. тобто x A = M.

Нехай x M = A. тобто x A і x. Звідси x A і x B, тобто x A \ B = N.

Для скорочення запису в подальшому будемо вважати, що операція перетин "сильніше" ніж об'єднання, різниця, симетрична різниця, тому, там де це можливо ми будемо опускати дужки. Крім того, іноді ми будемо опускати знак операції перетину (як в алгебрі знак операції множення). Так, наприклад, запис ABC \ B означає (A B C) \ C. Тут крім вище зазначених правил застосований закон асоціативності, що дозволяє опускати дужки при виконанні послідовності операцій об'єднання або перетину множин.

Двоїстість в алгебрі множин.

Операція об'єднання є двоїстої до операції перетину і навпаки, операція перетину є двоїстої до операції об'єднання. Операція доповнення є двоїстої сама до себе (самодвоїстих). Порожня множина є двоїстим до універсального безлічі і навпаки, універсальне безліч є двоїстим до порожнього безлічі.

Якщо у формулі алгебри множин F використовуються лише операції з сигнатури алгебри, а так само серед множин можуть бути присутніми пусте і універсальне безлічі, то формула F *, що виходить з формули F заміною кожного символу на двоїстий, називається формулою двоїстої до F. Принцип подвійності в алгебрі множин полягає в тому, що якщо справедливо тотожність F = R, то справедливо і двоїсте тотожність F * = R *. Здійснимість принципу подвійності ілюструють вищенаведені закони алгебри множин.