Парні оператори - студопедія

Лекція 6 Парні оператори. Приклади пов'язаних операторів

6.1. Парні оператори

6.2. Приклади пов'язаних операторів

Нехай X і Y - банахови простору, A. X ® Y - обмежений лінійний оператор. Візьмемо функціонал f Î Y 'і по ньому побудуємо новий функціонал g (x) = f (Ax). Перевіримо, що g - лінійний обмежений функціонал на X. Рівності

випливають з лінійності функціоналу f і оператора A. З нерівності

отримуємо, що g - обмежений лінійний функціонал і що

Таким чином, виникає відображення

Визначення 6.1.Сопряженним оператором до лінійного обмеженого оператора A. X ® Y називається оператор A '. діє за формулою A'f (x) = f (Ax) з простору Y 'в простір X'.

Зауваження 6.1. У вираженні A'f (x) з двох можливих варіантів розташування дужок (A'f) (x) і A '(f (x)) другий не має сенсу (f (x) - число і оператор A' не можна застосувати до числа ), тому вираз A'f (x) Новомосковскется за першим варіантом (оператор A 'застосовується до функціонала f і обчислюється значення нового функціоналу в точці x).

Покажемо, що операція сполучення не виводить з класу обмежених лінійних операторів.

Теорема 6.1. Оператор A '. пов'язаний до лінійного обмеженого оператора A. є лінійним обмеженим, причому || A '|| = || A ||.

Доведення. Перевіримо лінійність оператора A ':

Згідно нерівності (1), отримуємо нерівність

т. е. оператор A 'обмежений і || A '|| £ || A ||. Покажемо, що справедливо зворотне нерівність || A || £ || A '||. Візьмемо довільний елемент x Î X і нехай y = Ax. Згідно зі слідством 4.2 теореми Хана - Банаха, існує такий функціонал f Î Y '. що || f || = 1 і f (y) = || y ||. Тоді f (Ax) = || Ax || і

Таким чином, для будь-якого x Î X виконано || Ax || £ || A '|| || x ||, звідки отримуємо || A || £ || A '|| і, отже, || A '|| = || A ||. Теорема доведена.

Побудувавши для кожного оператора A його пов'язаний A '. ми визначили відображення, чинне з L (X. Y) в L (Y '. X'), яке оператору A ставить у відповідність його пов'язаний A '. Це відображення називають відображенням сполучення. Відзначимо наступні властивості сполучення: 1) (A + B) '= A' + B '. 2) (lA) '= lA' (лінійність); 3) || A '|| = || A || (Ізометрічни).

6) Якщо оператор A має обмежений зворотний A - 1. то A 'також звернемо і (A') - 1 = (A - 1) '.

Доведення. Так як AA - 1 = I і A - 1 A = I. то, згідно з властивостями 4) і 5), будемо мати (A - 1) 'A' = I і A '(A - 1)' = I. т . е. оператор (A - 1) 'є зворотним до оператора A'. Властивість доведено.

Наведемо кілька завдань, при вирішенні яких природно виникають пов'язані оператори.

Нехай A. X ® Y - обмежений лінійний оператор (X. Y - банахови простору). Завдання полягає в тому, щоб встановити, чи має рівняння Ax = y рішення x Î X для заданого y Î Y. Інакше кажучи, потрібно описати образ Im A = оператора A.

Теорема 6.2. Нехай X і Y - банахови простору і A. X ® Y - обмежений лінійний оператор, Im A - його образ. Замикання образу оператора A збігається з безліччю векторів y. б відповідала умовам f (y) = 0 для будь-якого функціоналу f Î Y 'такого, що A'f = 0.

Доведення. Нехай - множина векторів, що задовольняють умові теореми. Як перетин замкнутих лінійних підпросторів L є замкнутий підпростір.

Доведемо тепер включення в зворотну сторону. Припустимо гидке, т. Е. Що існує елемент y0 Î L такий, що. Тоді, згідно з слідству 4.3 теореми Хана - Банаха, існує такий функціонал f0. що f0 (y0) ¹ 0 і f0 (y) = 0 для всіх. Тоді A'f0 (x) = f0 (Ax) = 0 і умова y0 Î L означає, що f0 (y0) = 0. Отримане протиріччя означає, що. Теорема доведена.

Слідство 6.1. Для того, щоб рівняння Ax = y мало рішення, необхідно, а якщо образ Im A замкнутий, то і досить, щоб f (y) = 0 для будь-якого функціоналу f. задовольняє однорідному сопряженному рівняння A'f = 0.

Слідство 6.2. Для того, щоб рівняння Ax = y було вирішується для будь-якого y Î L. необхідно, щоб рівняння A'f = 0 мало тільки нульове рішення.

Доведення. Якщо Im A = Y. то, відповідно до теореми 6.2, для будь-якого y і f Î Ker A 'виконано f (y) = 0, т. Е. F = 0. Слідство доведено.

Слідство 6.3. Рівняння A'f = 0 має єдине рішення тоді і тільки тоді, коли.

Теорема 6.3. Оператор A. X ® Y має обмежений зворотний
A - 1. Y ® X тоді і тільки тоді, коли існує постійна C> 0 така, що справедливі нерівності

Доказательство.Необходімость. Нерівності обмеженості для операторів A - 1 і (A ') - 1 збігаються з нерівностями (2) і (3).

Достатність. З (3) отримуємо, що Ker A '=. Тоді по слідству 6.3. Застосовуючи тепер теорему 2.1 про зворотні операторах, отримуємо існування обмеженого оператора A - 1. Теорема доведена.

Зауваження 6.3. На відміну від конечномерного випадку разрешимость рівняння Ax = y для будь-якої правої частини в нескінченновимірних просторі не пов'язана з одиничністю рішення цього рівняння. Наприклад, нехай A - оператор одностороннього зсуву вліво A. l2 ® l2. A (x1. X2. ¼) = (x2. X3. ¼), Im A = l2. Ker A ¹.