Парні комплексні числа - студопедія

Визначення. Два комплексних числа, мають одну і ту ж дійсну частину і взаємно протилежні коефіцієнти уявних частин, називаються взаємно) сполученими.

Для будь-якого комплексного числа z існує одне і тільки одне пов'язане з ним комплексне число, яке позначається. Якщо. то. Очевидно, тоді й тільки тоді, коли z - дійсне число.

Відзначимо, що сума і твір двох сполучених комплексних чисел є дійсними числами:

Раніше було виведено правило ділення комплексних чисел. Це правило можна простіше отримати за допомогою сполучених комплексних чисел.

Помножимо чисельник і знаменник дробу - на число комплексно поєднане зі знаменником. Виконавши дії і відокремивши дійсну частину від уявної, отримуємо:

Цей результат збігається з формулою, отриманої в п. 6.

Цю формулу годі й запам'ятовувати, а тільки пам'ятати, що при розподілі треба чисельник і знаменник дробу помножити на число, комплексно поєднане зі знаменником.

Теорема 1. Число, поєднане з сумою або твором комплексних чисел, є сума або відповідно твір чисел, пов'язаних даними комплексним числам:

Доведення. Нехай. Тоді. маємо:

Ця теорема показує, що, поставивши у відповідність кожному комплексному числу поєднане з ним число, ми отримали взаємно однозначне відображення поля комплексних чисел До на це ж поле при якому зберігаються операції додавання і множення.

З теореми 1 безпосередньо випливає наступне

Слідство 1. Число, поєднане (натуральної) ступеня комплексного числа, так само тій же мірі числа, сполученого даному:

Далі, якщо нам дано многочлен

коефіцієнти якого - комплексні числа, то, замінивши кожен коефіцієнт зв'язаних йому комплексним числом ми отримаємо новий многочлен, який позначимо через

Якщо тепер в отриманому многочлене довільне значення змінної замінити зв'язаних йому значенням то в силу доведеною вище теореми і слідства I отримане значення многочлена буде комплексним числом, зв'язаних з вихідним значенням многочлена

Якщо, зокрема, всі коефіцієнти многочлена дійсні числа, то один і той же поліном, і формула (3) дає:

Таким чином, ми отримали

Слідство 2. При заміні в многочлене з дійсними коефіцієнтами довільного значення аргументу зв'язаних йому числом значення многочлена також замінюється зв'язаних йому числом.

30. Комплексним числом називається число виду. де і - дійсні числа, - так звана уявна одиниця. Число називається дійсною частиною () комплексного числа. число називається уявною частиною () комплексного числа.

- це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не складання. Дійсну і уявну частини комплексного числа, в принципі, можна переставити місцями: або переставити уявну одиницю: - від цього комплексне число не зміниться. Але стандартно комплексне число прийнято записувати саме в такому порядку.

Щоб все було зрозуміліше, відразу наведу геометричну інтерпретацію. Комплексні числа зображуються на комплексній площині:

Як згадувалося вище, буквою прийнято позначати безліч дійсних чісел.Множество жекомплексних чисел прийнято позначати «жирної» або потовщеною буквою. Тому на кресленні слід поставити букву. позначаючи той факт, що у нас комплексна площину.

Комплексна площина складається з двох осей:
- дійсна вісь
- уявна вісь

Правила оформлення креслення практично такі ж, як і для креслення в декартовій системі координат (див. Графіки і властивості елементарних функцій). По осях потрібно задати розмірність, відзначаємо:

одиницю по дійсній осі;

уявну одиницю по уявної осі.

Не потрібно проставляти все значення: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... і.

Так чого тут розмінюватися на дрібниці, розглянемо чисел десять.

Побудуємо на комплексній площині такі комплексні числа:
. .
. .
. . .

За яким принципом відзначені числа на комплексній площині, думаю, очевидно - комплексні числа відзначають точно так же, як ми відзначали точки ще в 5-6 класі на уроках геометрії.

Розглянемо наступні комплексні числа:. . . Ви скажете, так це ж звичайні дійсні числа! І будете майже праві. Дійсні числа - це окремий випадок комплексних чисел. Дійсна вісь позначає в точності безліч дійсних чисел. тобто на осі сидять всі наші «звичайні» числа. Більш строго твердження можна сформулювати так: Множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел.

Числа. . - це комплексні числа з нульовою уявною частиною.

Числа. . - це, навпаки, чисто уявні числа. тобто числа з нульовою дійсною частиною. Вони розташовуються строго на уявної осі.

В числах. . . і дійсна і уявна частини нерівні нулю. Такі числа теж позначаються точками на комплексній площині, при цьому, до них прийнято проводити радіус-вектори з початку координат (позначені червоним кольором на кресленні). Радіус-вектори до чисел, які розташовуються на осях, зазвичай не креслять, тому що вони зливаються з осями.