Ознака подільності на 3, приклади, доказ ознаки

Серію статей про ознаки подільності продовжує ознака подільності на 3. У цій статті спочатку дана формулювання ознаки подільності на 3. і наведені приклади застосування цієї ознаки при з'ясуванні, які з даних цілих чисел діляться на 3. а які - ні. Далі дано доказ ознаки подільності на 3. Також розглянуті підходи до встановлення подільності на 3 чисел, заданих як значення деякого виразу.

Навігація по сторінці.

Ознака подільності на 3, приклади

Почнемо з формулювання ознаки подільності на 3. ціле число ділиться на 3. якщо сума його цифр ділиться на 3. якщо ж сума цифр даного числа не ділиться на 3. то й саме число не ділиться на 3.

З наведеної формулювання зрозуміло, що ознакою подільності на 3 не вдасться скористатися без вміння виконувати додавання натуральних чисел. Також для успішного застосування ознаки подільності на 3 потрібно знати, що з усіх однозначних натуральних чисел на 3 діляться числа 3. 6 і 9. а числа 1. 2. 4. 5. 7 і 8 - не діляться на 3.

Тепер можна розглянути найпростіші приклади застосування ознаки подільності на 3. З'ясуємо, чи ділиться на 3 число -42. Для цього обчислюємо суму цифр числа -42. вона дорівнює 4 + 2 = 6. Так як 6 ділиться на 3. то в силу ознаки подільності на 3 можна стверджувати, що і число -42 ділиться на 3. А ось ціле позитивне число 71 на 3 не ділиться, так як сума його цифр дорівнює 7 + 1 = 8. а 8 не ділиться на 3.

А чи ділиться на 3 число 0. Щоб відповісти на це питання, ознака подільності на 3 не знадобиться, тут потрібно згадати відповідне властивість подільності. яке стверджує, що нуль ділиться на будь-яке ціле число. Таким чином, 0 ділиться на 3.

У деяких випадках щоб показати, що дане число володіє або не володіє здатністю ділитися на 3. до ознаки подільності на 3 доводиться звертатися кілька разів поспіль. Наведемо приклад.

Покажіть, що число 907 444 812 ділиться на 3.

Сума цифр числа 907 444 812 дорівнює 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39. Щоб з'ясувати, чи ділиться 39 на 3. обчислимо його суму цифр: 3 + 9 = 12. А щоб дізнатися, чи ділиться 12 на 3. знаходимо суму цифр числа 12. маємо 1 + 2 = 3. Так як ми отримали число 3. яке ділиться на 3. то в силу ознаки подільності на 3 число 12 ділиться на 3. Отже, 39 ділиться на 3. так як сума його цифр дорівнює 12. а 12 ділиться на 3. Нарешті, 907 333 812 ділиться на 3. так як сума його цифр дорівнює 39. а 39 ділиться на 3.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення ще одного прикладу.

Обчислимо суму цифр даного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19. У свою чергу сума цифр числа 19 дорівнює 1 + 9 = 10. а сума цифр числа 10 дорівнює 1 + 0 = 1. Так як ми отримали число 1. яке не ділиться на 3. з ознаки подільності на 3 випливає, що 10 не ділиться на 3. Тому 19 не ділиться на 3. так як сума його цифр дорівнює 10. а 10 не ділиться на 3. Отже , вихідне число -543 205 не ділиться на 3. так як сума його цифр, що дорівнює 19. не ділиться на 3.

Варто зауважити, що безпосереднє розподіл даного числа на 3 також дозволяє зробити висновок про те, чи ділиться дане число на 3 без остачі, чи ні. Цим ми хочемо сказати, що не потрібно нехтувати розподілом на користь ознаки подільності на 3. В останньому прикладі, розділивши стовпчиком 543 205 на 3. ми б переконалися, що 543 205 не ділиться без остачі на 3. звідки можна було б сказати, що і - 543 205 не ділиться на 3.

Доказ ознаки подільності на 3

Довести ознака подільності на 3 нам допоможе наступне подання числа a. Будь-яке натуральне число a ми можемо розкласти по розрядах. після чого правило множення на 10, 100, 1 000 і так далі дозволяє отримати уявлення виду a = an · 10 n + an-1 · 10 n-1 + ... + a2 · 10 2 + a1 · 10 + a0. де an. an-1. ..., a0 - цифри, які стоять зліва направо в запису числа a. Для наочності наведемо приклад такого уявлення: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8.

Тепер запишемо ряд досить очевидних рівностей: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1. 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1. 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 і так далі.

Підставивши в рівність a = an · 10 n + an-1 · 10 n-1 + ... + a2 · 10 2 + a1 · 10 + a0 замість 10. 100. 1 000 і так далі вирази 3 · 3 + 1. 33 · 3 + 1. 999 + 1 = 333 · 3 + 1 і так далі, отримаємо
.

Властивості додавання натуральних чисел і властивості множення натуральних чисел дозволяють отримане рівність переписати так:

Вираз є сума цифр числа a. Позначимо її для стислості і зручності буквою А. тобто, приймемо. Тоді отримаємо уявлення числа a виду. яким і скористаємося при доказі ознаки подільності на 3.

Також для доказу ознаки подільності на 3 нам будуть потрібні наступні властивості подільності:

• щоб ціле число a поділялося на ціле число b необхідно і достатньо, щоб модуль числа a ділився на модуль числа b;
• якщо в рівність a = s + t всі члени, крім якогось одного, діляться на деяке ціле число b. то і цей один член ділиться на b.

Тепер ми повністю підготовлені і можемо провести доказ ознаки подільності на 3. для зручності ця ознака сформулюємо у вигляді необхідного і достатнього умови подільності на 3.

Для подільності цілого числа a на 3 необхідно і достатньо, щоб сума його цифр ділилася на 3.

Для a = 0 теорема очевидна.

Якщо a відмінно від нуля, то модуль числа a є натуральним числом, тоді можливе подання. де - сума цифр числа a.

Так як сума і твір цілих чисел є ціле число, то - ціле число, тоді за визначенням подільності твір ділиться на 3 при будь-яких a0. a1. ..., an.

Якщо сума цифр числа a ділиться на 3. тобто, А ділиться на 3. то в силу властивості подільності, зазначеного перед теоремою, ділиться на 3. отже, a ділиться на 3. Так доведена достатність.

Якщо a ділиться на 3. то і ділиться на 3. тоді в силу того ж властивості подільності число А ділиться на 3. тобто, сума цифр числа a ділиться на 3. Так доведено необхідність.

Інші випадки подільності на 3

Іноді цілі числа задаються не в явному вигляді, а як значення деякого виразу зі змінною при даному значенні змінної. Наприклад, значення виразу при деякому натуральному n є натуральним числом. Зрозуміло, що при такому завданні чисел для встановлення їх подільності на 3 не допоможе безпосереднє розподіл на 3. та й ознака подільності на 3 вдасться застосувати далеко не завжди. Зараз ми розглянемо кілька підходів до вирішення подібних завдань.

Суть цих підходів полягає в поданні вихідного вираження у вигляді твору декількох множників, і якщо хоча б один із множників буде ділитися на 3. то в силу відповідного властивості подільності можна буде зробити висновок про подільність на 3 усього твору.

Іноді реалізувати такий підхід дозволяє біном Ньютона. Розглянемо рішення прикладу.

Чи ділиться значення виразу на 3 при будь-якому натуральному n.

Очевидно рівність. Скористаємося формулою бінома Ньютона:

В останньому виразі ми можемо винести 3 за дужки, при цьому отримаємо. Отримане твір ділиться на 3. тому що містить множник 3. а значення виразу в дужках при натуральних n являє собою натуральне число. Отже, ділиться на 3 при будь-якому натуральному n.