Операція еквівалентності об’єднує два висловлювання, що мають однакові значення істинності

Операція еквівалентності об'єднує два висловлювання, що мають однакові значення істинності. Отже, будуть еквівалентними, з одного боку, істинні висловлювання, а з іншого - висловлювання помилкові. В іншому випадку висловлювання вважаються еквівалентними. Виходячи з цього легко побудувати таблицю істинності для еквівалентності, символом якої є стрілка з протилежними кінцями (табл. 5).

Еквівалентність можна висловити на природній мові словами "якщо і тільки якщо", і в такому вигляді вона часто зустрічається в формулюванні наукових визначень.

Крім табличного визначення логічні операції (за винятком заперечення) можна визначити через інші, з обов'язковим використанням заперечення. Дійсно, застосувавши табличний метод (табл. 6), можна переконатися, що вирази (х → у) і (¬y → ¬x) будуть еквівалентними, тобто (Х → у) ↔ (¬у → ¬x).

Кожен рядок першої імплікації і другий конверсной (зворотного), отриманої перестановкою заперечень консеквента і антецедента першої, збігаються один з одним. Отже зазначені імплікації будуть еквівалентні.

За допомогою таблиць істинності можна перевірити, що і інші логічні операції можна визначити через Інші дві, причому другий операцією завжди буде заперечення. Наприклад, диз'юнкцію можна виразити через кон'юнкцію: (х Ú у) ↔ (¬x Ù ¬y).

Спосіб встановлення істинності складних висловлювань, утворених з простих за допомогою таблиці, був запропонований американським логіком Ч.С. Пірсом і виявився вельми зручним. Як ми бачили, цей спосіб грунтується на комбінації значень істинності простих висловлювань і подальшого визначення істинності складних висловлювань, утворених за допомогою операцій заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції і імплікації. Наприклад, коли є два висловлювання, то число різних комбінацій з їх значень істинності дорівнюватиме 4, при трьох - 8, при чотирьох - 16, а отже, при заданому числі п воно дорівнює 2 # 8319 ;. Звідси неважко помітити, що визначення істинності складного висловлювання зводиться по суті до обчислення її на основі значень істинності простих висловлювань. Це враження посилиться, якщо ми позначимо істину як 1, а брехня як 0 і будемо їх комбінувати, щоб утворити заперечення, кон'юнкцію, диз'юнкцію і т.д. В якості ілюстрації обчислимо значення істинності наступного виразу: (х Ú y) → (x Ù z).

При деякому навику процес обчислення можна прискорити, звернувши головну увагу на основну операцію, яка пов'язує дві частини формули. У наведеному прикладі (табл. 7) досить помітити, що помилкова імплікація виникає при істинному антецеденте і хибному консеквента. Звідси легко визначити можливі значення х і у в диз'юнкції (х Ú у), а також значення х і z в кон'юнкції (х Ù z). Такий скорочений спосіб обчислення істинності складного висловлювання ґрунтується на встановленні головної логічної операції в даній формулі.