обмеженість функції

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Будемо називати функцію y = f (x) ОБМЕЖЕНОЮ СВЕРХУ (ЗНИЗУ) на безлічі А з області визначення D (f), якщо існує таке число M. що для будь-яких x з цього безлічі виконується умова

За допомогою логічних символів визначення може бути записано у вигляді:

f (x) - обмежена зверху на безлічі

(F (x) - обмежена знизу на безлічі

Вводяться в розгляд і функцій, обмежені по модулю або просто обмежені.

Будемо називати функції ОБМЕЖЕНОЮ на безлічі А з області визначення. якщо існує позитивне число M, що

Мовою логічних символів

f (x) - обмежена на безлічі

Функція, яка не є обмеженою, називається необмеженою. Ми знаємо, що визначення, дані через заперечення, малозмістовні. Щоб сформулювати це твердження як визначення, скористаємося властивостями кванторних операцій (3.6) і (3.7). Тоді заперечення обмеженості функції на мові логічних символів дасть:

f (x) - обмежена на безлічі

Отриманий результат дозволяє сформулювати наступне визначення.

Функція називається необмеженим на безлічі А, що належить області визначення функції, якщо на цій множині для будь-якого позитивного числа М знайдеться таке значення аргументу х, що значення все рівно перевершить величину М, тобто.

Як приклад розглянемо функцію

Вона визначена на всій дійсній осі. Якщо взяти відрізок [-2; 1] (безліч А), то на ньому вона буде обмежена і зверху, і знизу.

Дійсно, щоби показати її обмеженість згори, треба розглянути предикат

і показати, що знайдеться (існує) таке М, що для всіх x, узятих на відрізку [-2; 1], буде справедливо

Знайти таке М не становить труднощів. Можна вважати М = 7, квантор існування передбачає відшукання хоча б одного значення М. Наявність такого М і підтверджує той факт, що функція на відрізку [-2; 1] обмежена зверху.

Щоб довести її обмеженість знизу, треба розглянути предикат

Значним М, що забезпечує істинність даного предиката, є, наприклад, М = -100.

Можна довести, що функція буде обмежена і по модулю: для всіх x з відрізка [-2; 1] значення функції збігаються зі значеннями. тому в якості М можна взяти, наприклад, колишнє значення М = 7.

Покажемо, що та ж функція, але на проміжку. буде необмеженою, тобто

Щоб показати, що такі x існують, розглянемо твердження

Шукаючи шукані значення x серед позитивних значень аргументу, одержимо

Це означає, що будь-яке позитивне мми ні брали, значення x, що забезпечують виконання нерівності

виходять із співвідношення.

Розглядаючи функцію на всій дійсній осі, можна показати, що вона необмежена по модулю.

Дійсно, з нерівності

Тобто, яким би великим не було позитивне M, або забезпечать виконання нерівності.

Наведіть приклади функцій, що описують об'єкти реального світу, у яких: а) локальний мінімум перевершував би локальний максимум; б) локальний мінімум був би позитивним, а локальний максимум негативним.

Функція має в точці з локальний максимум (мінімум), якщо існує така околиця цієї точки, що для x ¹с з цієї околиці виконується нерівність

Сформулюйте визначення локального максимуму і локального мінімуму на мові математичної логіки.

а) б) Рис. 8.7. Екстремуми функції.

Точки локального мак-симум (рис. 8.7, а) і локального мінімуму (рис. 8.7, б) називають точками ЛОКАЛЬНОГО екстра-Мума. Іноді слово "локаль-ний" опускають і просто говорять про максимумах, мінімумах, екстремуму функції. Разом з тим, екстремум - властивість локальне, що характеризує поведінку функції в точці шляхом порівняння її значень зі значеннями в точках області визначення, прилеглих до даної. Відзначимо

а) б) Рис. 8.8. Випадки відсутності екстремуму.

особливо, що точка екстремуму може бути тільки внутрішньою точкою проміжку і f (x) в ній повинна бути обов'язково визначена. Можливі випадки відсутності екстремуму зображені на рис. 8.8.

Якщо функція зростає (спадає) на деякому проміжку іубивает (зростає) на деякому проміжку. то точка з є точкою локального максимуму (мінімуму).

Відсутність максимуму функції f (x) в точці з можна сформулювати так:

f (x) має максимум в точці c

Це означає, що якщо точка c не їсти точка локального максимуму, то хоч би якою була околиця, що включає в себе точку cкак внутрішню, в ній знайдеться бодай одне значення x не рівне c, при якому. Отже, якщо в точці c немає максимуму, то в цій точці екстремуму може не бути взагалі або ж це точка мінімуму (рис. 8.9).

а) б) Рис. 8.9. Можливі випадки відсутності максимуму в точці.

Поняття екстремуму дає порівняльну оцінку значення функції в будь-якій точці по відношенню до прилеглих. Подібне порівняння значень функцій можна провести і для всіх точок деякого проміжку.

Найбільше (найменше) значенням функції на безлічі називатимемо її значення в точці з цього безлічі таке, що

Найбільше (найменше) значення функції називають ще глобальним максимумом (мінімумом) функції. Точки глобального максимуму і мінімуму називають точками глобального екстремуму. Їх кількість може бути кінцевим або ж нескінченним, або ж цих точок може не існувати взагалі.

Мал. 8.10. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

на відрізку (рис. 8.10) приймає найбільше значення, рівне 1, в точці. а найменше значення, рівне 0, - при. Найбільше значення функції досягається у внутрішній точці відрізка. а найменше - на його лівому кінці.

Щоб визначити найбільше (найменше) значення функції, заданої на відрізку, треба серед всіх значень її максимумів (мінімумів), а також значень, прийнятих на кінцях проміжку, вибрати найбільше (найменше) число. Воно і буде найбільшим (найменшим) значенням функції. Це правило буде уточнено в подальшому.

Проблема відшукання найбільшого і найменшого значень функції на відкритому проміжку не завжди вирішується досить легко. Наприклад, функція

Мал. 8.11. Приклад функції, що не має найбільшого і найменшого значень в діапазоні (0; 1).

в інтервалі (рис. 8.11) їх не має.

Переконаємося, наприклад, що ця функція не має найбільшого значення. Справді, з огляду на монотонність функції. можна стверджувати, що як би близько ми ні задавали зліва від одиниці значення х, знайдуться інші х, в яких значення функції будуть більше її значень у взятих фіксованих точках, але все ж менше одиниці.