Нормоване рівняння прямої

Розглянемо довільну пряму L. Через початок координат O проведемо пряму n, перпендикулярні до L, і позначимо через P точку перетину цих прямих.

На прямій n візьмемо одиничний вектор. напрямок якого збігається з напрямком відрізка (якщо точки O і P збігаються, то напрямок вектора вибираємо довільно).

Висловимо рівняння прямої L через два параметри:

1) довжину p відрізка і

2) кут q між вектором і віссю Ox.

Вектор - одиничний, отже його можна записати у вигляді

Точка лежить на прямій L тоді і тільки тоді, коли проекція вектора на вісь, яка визначається вектором. дорівнює p:

В силу визначення 2 скалярного твори, враховуючи, що маємо:

З огляду на, що і рівність (6.9), отримаємо

Зі співвідношень (6.9), (6.10) і (6.11) отримуємо, що точка лежить на прямій L тоді і тільки тоді, коли її координати задовольняють рівняння

Це рівняння називається нормованим рівнянням прямої.

Нехай число d позначає відстань від точки M до прямої L.

Визначення. Відхиленням d точки M від прямої L називається число + d в разі, коли точка M і початок координат O лежать по різні боки від прямої L, і число -d в разі, коли точки M і Про лежать по одну сторону від прямої L. Якщо ж початок координат Про лежить на прямій L, покладемо відхилення рівним + d в разі, коли точка М лежить по ту сторону від прямої L, куди спрямований вектор. і рівним -d в протилежному випадку.

Теорема. Геометричний сенс лівій частині рівняння (6.13) полягає в тому, що ліва частина цього рівняння дорівнює відхиленню точки від прямої L, що визначається рівнянням (6.13).

Спроектуємо точку М на вісь, яка визначається вектором. позначимо цю проекцію Q. Відхилення d точки М від прямої L одно PQ, де PQ позначає величину спрямованого відрізка осі, яка визначається вектором.

З малюнка видно, що