Найважливіші властивості інтегрування

Найважливіші властивості інтегрування. Первісна функція.

Нехай функція визначена на деякому (кінцевому або нескінченному) інтервалі. Тоді функція називається первісною для функції на інтервалі, якщо для всіх (Надалі вказівку інтервалу будемо опускати).

Якщо - первісна функція для функції, то функція, де деяка постійна, також первісна для функції. Крім того, якщо і - дві первісні для функції, то вони відрізняються на деяку постійну, тобто існує таке число, що.

Таким чином, знаючи тільки одну первісну для функції, ми легко знаходимо і безліч всіх первісних для цієї функції, яке збігається з безліччю функцій виду, де - довільна постійна. Якщо функція неперервна на даному інтервалі, то у неї існує первісна на цьому інтервалі.

Невизначений інтеграл. Сукупність всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом від функції. Позначення: (читається так: "інтеграл еф від ікс де ікс"). Таким чином, якщо - якась первісна для функції, то (в правій частині останнього рівності більш правильно було б написати, оскільки мова йде про безліч всіх первісних, але фігурні дужки, що позначають безліч, зазвичай не пишуть). Знак називається інтегралом, функція - підінтегральної функцією, а - підінтегральна виразом. Операція знаходження невизначеного інтеграла від даної функції називається інтегруванням цієї функції.

Інтегрування - операція, зворотна операції диференціювання (тобто операції, що полягає в знаходженні похідної від даної функції). У будь-якої безперервної на даному інтервалі функції існує невизначений інтеграл.

Основні властивості невизначеного інтеграла. Скрізь далі передбачається, що всі розглянуті невизначені інтеграли існують.

3., де, тобто постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла.

4., тобто невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від цих функцій.